Để rút gọn biểu thức \( \frac{4x}{x-2} - \frac{1}{x-1} = \frac{8x-7}{3x-6} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định mẫu số chung**:
- Mẫu số của vế trái là \( (x-2)(x-1) \).
- Mẫu số của vế phải là \( 3(x-2) \).

2. **Quy đồng mẫu số**:
- Vế trái:
\[
\frac{4x}{x-2} - \frac{1}{x-1} = \frac{4x(x-1) - 1(x-2)}{(x-2)(x-1)}
\]
\[
= \frac{4x^2 - 4x - x + 2}{(x-2)(x-1)}
\]
\[
= \frac{4x^2 - 5x + 2}{(x-2)(x-1)}
\]

- Vế phải:
\[
\frac{8x-7}{3x-6} = \frac{8x-7}{3(x-2)}
\]

3. **So sánh hai vế**:
- Ta có:
\[
\frac{4x^2 - 5x + 2}{(x-2)(x-1)} = \frac{8x-7}{3(x-2)}
\]

4. **Nhân chéo để so sánh**:
- Nhân chéo hai vế:
\[
3(x-2)(4x^2 - 5x + 2) = (x-1)(8x-7)
\]

5. **Giải phương trình**:
- Triển khai và rút gọn:
\[
3(4x^2 - 5x + 2) = 8x^2 - 15x + 6
\]
\[
12x^2 - 15x + 6 = 8x^2 - 7x + 7
\]
\[
12x^2 - 8x^2 - 15x + 7x + 6 - 7 = 0
\]
\[
4x^2 - 8x - 1 = 0
\]

6. **Giải phương trình bậc hai**:
- Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
\[
a = 4, b = -8, c = -1
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{8}
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{8}
\]
\[
x = \frac{8 \pm 4\sqrt{5}}{8}
\]
\[
x = 1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2} \) và \( x = 1 - \frac{\sqrt{5}}{2} \).