Cho hình thang \(ABCD\) với \(AB \parallel CD\). Biết rằng đường tròn đường kính \(AB\) tiếp xúc với \(BC\). Ta cần chứng minh rằng đường tròn đường kính \(BC\) tiếp xúc với \(AD\).

Trước hết, ta xét đường tròn đường kính \(AB\). Gọi \(O_1\) là tâm của đường tròn này. Vì đường tròn đường kính \(AB\) tiếp xúc với \(BC\), nên \(O_1\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) và tiếp xúc với \(BC\) tại một điểm \(P\).

Do \(AB \parallel CD\), nên \(AB\) và \(CD\) cách đều nhau bởi một khoảng cách không đổi. Gọi \(O_2\) là tâm của đường tròn đường kính \(BC\). Đường tròn này có bán kính bằng nửa độ dài \(BC\).

Để chứng minh rằng đường tròn đường kính \(BC\) tiếp xúc với \(AD\), ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ \(O_2\) đến \(AD\) bằng bán kính của đường tròn đường kính \(BC\).

Gọi \(Q\) là điểm tiếp xúc của đường tròn đường kính \(BC\) với \(AD\). Vì \(O_2\) là trung điểm của \(BC\), nên \(O_2Q\) vuông góc với \(AD\) tại \(Q\).

Ta có:
- Đường tròn đường kính \(AB\) tiếp xúc với \(BC\) tại \(P\), nên \(O_1P = \frac{AB}{2}\).
- Đường tròn đường kính \(BC\) có bán kính \(O_2Q = \frac{BC}{2}\).

Do \(AB \parallel CD\), khoảng cách giữa \(AB\) và \(CD\) là không đổi, nên khoảng cách từ \(O_1\) đến \(CD\) cũng bằng khoảng cách từ \(O_2\) đến \(AD\).

Vì \(O_1\) và \(O_2\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) và \(BC\) tương ứng, và khoảng cách từ \(O_1\) đến \(BC\) bằng bán kính của đường tròn đường kính \(AB\), nên khoảng cách từ \(O_2\) đến \(AD\) cũng bằng bán kính của đường tròn đường kính \(BC\).

Do đó, đường tròn đường kính \(BC\) tiếp xúc với \(AD\) tại \(Q\).

Vậy ta đã chứng minh được rằng đường tròn đường kính \(BC\) tiếp xúc với \(AD\).