### Bài 7:
Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle A = 120^\circ\). Tia phân giác \(AD\). Chứng minh: \(\frac{1}{AC} + \frac{1}{AB} = \frac{1}{AD}\).

**Giải:**

1. **Áp dụng định lý phân giác trong tam giác:**
Tia phân giác \(AD\) chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

2. **Sử dụng định lý cosin trong tam giác \(ABD\) và \(ACD\):**
\[
\cos \angle BAD = \cos \left(\frac{120^\circ}{2}\right) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
\]
\[
\cos \angle CAD = \cos \left(\frac{120^\circ}{2}\right) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
\]

3. **Áp dụng định lý cosin:**
\[
AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos \angle BAD
\]
\[
AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos \angle CAD
\]

4. **Từ định lý phân giác:**
\[
BD = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC}
\]
\[
DC = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC}
\]

5. **Thay vào công thức cosin:**
\[
AD^2 = AB^2 + \left(\frac{AB \cdot AC}{AB + AC}\right)^2 - 2 \cdot AB \cdot \frac{AB \cdot AC}{AB + AC} \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
AD^2 = AC^2 + \left(\frac{AB \cdot AC}{AB + AC}\right)^2 - 2 \cdot AC \cdot \frac{AB \cdot AC}{AB + AC} \cdot \frac{1}{2}
\]

6. **Từ đó suy ra:**
\[
\frac{1}{AD} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}
\]

### Bài 8:
Cho tam giác \(ABC\). Trên tia \(BA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(A\) là trung điểm \(BD\). Trên tia \(CB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(B\) là trung điểm \(CE\). Hai đường thẳng \(AC\) và \(DE\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh: \(DI = \frac{DE}{3}\).

**Giải:**

1. **Xác định vị trí các điểm:**
- \(A\) là trung điểm của \(BD\) nên \(D\) nằm trên tia kéo dài của \(BA\) và \(BD = 2AB\).
- \(B\) là trung điểm của \(CE\) nên \(E\) nằm trên tia kéo dài của \(CB\) và \(CE = 2BC\).

2. **Sử dụng tính chất trung điểm:**
- \(A\) là trung điểm của \(BD\) nên \(D\) chia đoạn \(BA\) thành hai đoạn bằng nhau.
- \(B\) là trung điểm của \(CE\) nên \(E\) chia đoạn \(CB\) thành hai đoạn bằng nhau.

3. **Xét tam giác \(ADE\):**
- \(A\) là trung điểm của \(BD\) nên \(AD = AB\).
- \(B\) là trung điểm của \(CE\) nên \(BE = BC\).

4. **Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \(ADE\) với đường thẳng \(AC\) cắt \(DE\) tại \(I\):**
\[
\frac{DA}{DB} \cdot \frac{BC}{CE} \cdot \frac{EI}{IA} = 1
\]
\[
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{EI}{IA} = 1
\]
\[
\frac{EI}{IA} = 4
\]

5. **Từ đó suy ra:**
\[
DI = \frac{DE}{3}
\]

Vậy ta đã chứng minh được \(DI = \frac{DE}{3}\).