Để chứng minh rằng không có số chính phương nào chia 4 dư 2 hoặc 3, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp của số chính phương khi chia cho 4.

Giả sử \( n \) là một số nguyên bất kỳ. Khi chia \( n \) cho 4, có 4 trường hợp có thể xảy ra:
1. \( n \equiv 0 \pmod{4} \)
2. \( n \equiv 1 \pmod{4} \)
3. \( n \equiv 2 \pmod{4} \)
4. \( n \equiv 3 \pmod{4} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp của \( n^2 \) (số chính phương của \( n \)) khi chia cho 4.

1. Nếu \( n \equiv 0 \pmod{4} \):
\[
n = 4k \quad \text{với } k \text{ là một số nguyên}
\]
\[
n^2 = (4k)^2 = 16k^2 \equiv 0 \pmod{4}
\]
Do đó, \( n^2 \equiv 0 \pmod{4} \).

2. Nếu \( n \equiv 1 \pmod{4} \):
\[
n = 4k + 1 \quad \text{với } k \text{ là một số nguyên}
\]
\[
n^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 \equiv 1 \pmod{4}
\]
Do đó, \( n^2 \equiv 1 \pmod{4} \).

3. Nếu \( n \equiv 2 \pmod{4} \):
\[
n = 4k + 2 \quad \text{với } k \text{ là một số nguyên}
\]
\[
n^2 = (4k + 2)^2 = 16k^2 + 16k + 4 \equiv 0 \pmod{4}
\]
Do đó, \( n^2 \equiv 0 \pmod{4} \).

4. Nếu \( n \equiv 3 \pmod{4} \):
\[
n = 4k + 3 \quad \text{với } k \text{ là một số nguyên}
\]
\[
n^2 = (4k + 3)^2 = 16k^2 + 24k + 9 \equiv 1 \pmod{4}
\]
Do đó, \( n^2 \equiv 1 \pmod{4} \).

Tóm lại, khi chia cho 4, số chính phương \( n^2 \) chỉ có thể có dư số là 0 hoặc 1. Điều này có nghĩa là không có số chính phương nào chia cho 4 mà dư 2 hoặc 3.

Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng không có số chính phương nào chia cho 4 mà dư 2 hoặc 3.