Để giải bài toán này, ta cần sử dụng công thức tính diện tích tam giác và một số kiến thức cơ bản về hình học.

**A. Tính chiều cao AH của tam giác:**

Gọi \( BC = a \) và \( AH = h \).

Diện tích tam giác ABC ban đầu là:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h = 40 \, \text{cm}^2 \]

Từ đó, ta có:
\[ a \times h = 80 \, \text{cm}^2 \quad (1) \]

Khi tăng cạnh đáy BC thêm 4 cm, tức là \( BC \) mới là \( a + 4 \), diện tích tam giác mới là:
\[ S' = \frac{1}{2} \times (a + 4) \times h \]

Diện tích tam giác mới tăng thêm 10 cm², nên:
\[ S' = 40 + 10 = 50 \, \text{cm}^2 \]

Do đó:
\[ \frac{1}{2} \times (a + 4) \times h = 50 \, \text{cm}^2 \]

Từ đó, ta có:
\[ (a + 4) \times h = 100 \, \text{cm}^2 \quad (2) \]

Từ phương trình (1) và (2), ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
a \times h = 80 \\
(a + 4) \times h = 100
\end{cases} \]

Trừ phương trình (1) từ phương trình (2):
\[ (a + 4) \times h - a \times h = 100 - 80 \]
\[ 4h = 20 \]
\[ h = 5 \, \text{cm} \]

Vậy chiều cao AH của tam giác là 5 cm.

**B. Tính cạnh đáy BC:**

Từ phương trình (1):
\[ a \times h = 80 \]
\[ a \times 5 = 80 \]
\[ a = \frac{80}{5} = 16 \, \text{cm} \]

Vậy cạnh đáy BC là 16 cm.

**Kết luận:**
- Chiều cao AH của tam giác là 5 cm.
- Cạnh đáy BC là 16 cm.