Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý cosin và các công thức lượng giác cơ bản.

### 1. Tính các tỉ lượng của góc B và C

Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) \]

Thay các giá trị đã biết vào:

\[ 20^2 = 12^2 + 16^2 - 2 \cdot 12 \cdot 16 \cdot \cos(\angle BAC) \]

\[ 400 = 144 + 256 - 384 \cdot \cos(\angle BAC) \]

\[ 400 = 400 - 384 \cdot \cos(\angle BAC) \]

\[ 0 = -384 \cdot \cos(\angle BAC) \]

\[ \cos(\angle BAC) = 0 \]

Điều này không hợp lý vì góc BAC không thể bằng 90 độ trong tam giác này. Chúng ta cần kiểm tra lại các bước hoặc sử dụng định lý cosin cho các góc khác.

Sử dụng định lý cosin cho góc B:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) \]

\[ 16^2 = 12^2 + 20^2 - 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \cos(\angle B) \]

\[ 256 = 144 + 400 - 480 \cdot \cos(\angle B) \]

\[ 256 = 544 - 480 \cdot \cos(\angle B) \]

\[ -288 = -480 \cdot \cos(\angle B) \]

\[ \cos(\angle B) = \frac{288}{480} = \frac{3}{5} \]

Sử dụng định lý cosin cho góc C:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C) \]

\[ 12^2 = 16^2 + 20^2 - 2 \cdot 16 \cdot 20 \cdot \cos(\angle C) \]

\[ 144 = 256 + 400 - 640 \cdot \cos(\angle C) \]

\[ 144 = 656 - 640 \cdot \cos(\angle C) \]

\[ -512 = -640 \cdot \cos(\angle C) \]

\[ \cos(\angle C) = \frac{512}{640} = \frac{4}{5} \]

### 2. Tính độ dài đường cao AH của tam giác BAC

Để tính độ dài đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) \]

Trước hết, ta cần tính diện tích tam giác ABC bằng công thức Heron:

\[ s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{12 + 16 + 20}{2} = 24 \]

Diện tích tam giác ABC:

\[ S = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)} \]

\[ S = \sqrt{24(24 - 12)(24 - 16)(24 - 20)} \]

\[ S = \sqrt{24 \cdot 12 \cdot 8 \cdot 4} \]

\[ S = \sqrt{9216} = 96 \]

Đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \]

\[ 96 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot AH \]

\[ AH = \frac{96 \cdot 2}{20} = 9.6 \, \text{cm} \]

### 3. Chứng minh \( AB \cdot \cos(\angle B) + AC \cdot \cos(\angle C) = 20 \)

Từ các giá trị đã tính:

\[ AB = 12 \]
\[ AC = 16 \]
\[ \cos(\angle B) = \frac{3}{5} \]
\[ \cos(\angle C) = \frac{4}{5} \]

Ta có:

\[ AB \cdot \cos(\angle B) + AC \cdot \cos(\angle C) = 12 \cdot \frac{3}{5} + 16 \cdot \frac{4}{5} \]

\[ = \frac{36}{5} + \frac{64}{5} \]

\[ = \frac{100}{5} = 20 \]

Vậy ta đã chứng minh được:

\[ AB \cdot \cos(\angle B) + AC \cdot \cos(\angle C) = 20 \]