Để tìm giá trị của \( m \) sao cho số phần tử của \( A \cap B = 1 \), ta cần xem xét phương trình \( mx^2 - 6x + m - 8 = 0 \) và điều kiện của tập hợp \( A \).

Tập hợp \( A = (2, +\infty) \) chứa các số thực lớn hơn 2.

Tập hợp \( B \) là tập hợp các nghiệm của phương trình \( mx^2 - 6x + m - 8 = 0 \).

Để phương trình \( mx^2 - 6x + m - 8 = 0 \) có nghiệm, ta cần tính biệt thức (delta) của phương trình bậc hai này:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
với \( a = m \), \( b = -6 \), và \( c = m - 8 \).

\[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot m \cdot (m - 8) \]
\[ \Delta = 36 - 4m^2 + 32m \]
\[ \Delta = -4m^2 + 32m + 36 \]

Phương trình có nghiệm khi \( \Delta \geq 0 \):
\[ -4m^2 + 32m + 36 \geq 0 \]

Giải bất phương trình này:
\[ -4(m^2 - 8m - 9) \geq 0 \]
\[ m^2 - 8m - 9 \leq 0 \]

Giải phương trình bậc hai \( m^2 - 8m - 9 = 0 \):
\[ m = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} \]
\[ m = \frac{8 \pm 10}{2} \]
\[ m = 9 \quad \text{hoặc} \quad m = -1 \]

Bất phương trình \( m^2 - 8m - 9 \leq 0 \) có nghiệm trong khoảng:
\[ -1 \leq m \leq 9 \]

Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( mx^2 - 6x + m - 8 = 0 \) có đúng một nghiệm thuộc khoảng \( (2, +\infty) \).

Xét phương trình \( mx^2 - 6x + m - 8 = 0 \), ta có:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{\Delta}}{2m} \]

Để phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng \( (2, +\infty) \), ta cần một nghiệm nằm trong khoảng này và nghiệm còn lại nằm ngoài khoảng này.

Xét trường hợp \( m = 1 \):
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} \]
\[ x = \frac{6 \pm 8}{2} \]
\[ x = 7 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \]

Nghiệm \( x = 7 \) thuộc khoảng \( (2, +\infty) \) và nghiệm \( x = -1 \) không thuộc khoảng này. Do đó, \( m = 1 \) thỏa mãn điều kiện.

Vậy giá trị của \( m \) để số phần tử của \( A \cap B = 1 \) là \( m = 1 \).