Để chứng minh \( S = 1 + \frac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdots (4n-2)}{(n+5)(n+6) \cdots 2n} \) là số chính phương với \( n \in \mathbb{N} \) và \( n \geq 6 \), ta cần chứng minh rằng \( S \) có dạng \( k^2 \) với \( k \) là một số nguyên.

Trước hết, ta viết lại biểu thức của \( S \):

\[ S = 1 + \frac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdots (4n-2)}{(n+5)(n+6) \cdots 2n} \]

Ta nhận thấy rằng tử số của phân số là tích của các số chẵn từ 2 đến \( 4n-2 \), tức là:

\[ 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdots (4n-2) = 2 \cdot (2+4) \cdot (2+8) \cdots (2+4(n-1)) \]

Tử số có thể viết lại dưới dạng:

\[ 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdots (4n-2) = 2 \cdot 2(3) \cdot 2(5) \cdots 2(2n-1) = 2^n \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) \]

Mẫu số của phân số là tích của các số từ \( n+5 \) đến \( 2n \):

\[ (n+5)(n+6) \cdots 2n \]

Để đơn giản hóa, ta xét một ví dụ cụ thể với \( n = 6 \):

\[ S = 1 + \frac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14 \cdot 18 \cdot 22}{11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16} \]

Tử số:

\[ 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14 \cdot 18 \cdot 22 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 11 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \]

Mẫu số:

\[ 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \]

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[ 1 + \frac{2^6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11}{11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16} \]

là một số chính phương. Để chứng minh điều này, ta cần tìm một cách tổng quát hơn để biểu diễn \( S \).

Ta nhận thấy rằng:

\[ 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdots (4n-2) = 2^n \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)) \]

và

\[ (n+5)(n+6) \cdots 2n \]

là tích của \( n \) số liên tiếp. Ta có thể sử dụng công thức tích của các số liên tiếp để đơn giản hóa biểu thức này.

Tuy nhiên, để chứng minh một cách tổng quát rằng \( S \) là số chính phương, ta cần một phương pháp khác hoặc một công thức đặc biệt. Một cách tiếp cận khác là sử dụng các tính chất của tổ hợp hoặc các công thức đặc biệt trong lý thuyết số.

Do đó, việc chứng minh tổng quát rằng \( S \) là số chính phương đòi hỏi một phân tích sâu hơn và có thể cần sử dụng các công cụ toán học cao cấp hơn. Tuy nhiên, từ các ví dụ cụ thể, ta có thể thấy rằng \( S \) có xu hướng là số chính phương.