Để rút gọn biểu thức \( \frac{x+2}{x-2} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x^2 - 2x} \), ta thực hiện các bước sau:

1. Rút gọn mẫu số của phân số bên phải:
\[ x^2 - 2x = x(x - 2) \]
Do đó:
\[ \frac{2}{x^2 - 2x} = \frac{2}{x(x - 2)} \]

2. Quy đồng mẫu số của hai phân số bên trái:
\[ \frac{x+2}{x-2} - \frac{1}{x} \]

Mẫu số chung là \( x(x - 2) \):
\[ \frac{x+2}{x-2} = \frac{(x+2)x}{(x-2)x} = \frac{x(x+2)}{x(x-2)} \]
\[ \frac{1}{x} = \frac{(x-2)}{x(x-2)} \]

3. Trừ hai phân số đã quy đồng:
\[ \frac{x(x+2)}{x(x-2)} - \frac{x-2}{x(x-2)} = \frac{x(x+2) - (x-2)}{x(x-2)} \]

4. Rút gọn tử số:
\[ x(x+2) - (x-2) = x^2 + 2x - x + 2 = x^2 + x + 2 \]

Do đó:
\[ \frac{x(x+2) - (x-2)}{x(x-2)} = \frac{x^2 + x + 2}{x(x-2)} \]

5. So sánh với phân số bên phải:
\[ \frac{x^2 + x + 2}{x(x-2)} = \frac{2}{x(x-2)} \]

Vì vậy:
\[ x^2 + x + 2 = 2 \]

6. Giải phương trình:
\[ x^2 + x + 2 = 2 \]
\[ x^2 + x = 0 \]
\[ x(x + 1) = 0 \]

Do đó:
\[ x = 0 \text{ hoặc } x = -1 \]

Tuy nhiên, cần kiểm tra lại điều kiện của bài toán để đảm bảo rằng các giá trị này không làm mẫu số bằng 0. Trong trường hợp này, \( x = 0 \) sẽ làm mẫu số của phân số thứ hai bằng 0, do đó giá trị hợp lệ duy nhất là \( x = -1 \).

Vậy, biểu thức đã rút gọn là:
\[ x = -1 \]