Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC, AH là đường cao. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Kẻ DE vuông góc với AC ở E, HK vuông góc với AC ở K

Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông, tam giác cân, và các đường cao, trung tuyến, và đường trung trực.

**a) So sánh KA và KE**

Ta có \(HK \perp AC\) và \(DE \perp AC\). Do đó, \(HK\) và \(DE\) đều vuông góc với \(AC\), tức là chúng song song với nhau.

Vì \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), nên \(H\) nằm trên \(BC\). Do đó, \(K\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AC\).

Tương tự, \(E\) là hình chiếu của \(D\) lên \(AC\).

Vì \(HD = HB\), nên \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(H\). Do đó, \(D\) nằm trên đường thẳng \(HC\) và \(HD = HB\).

Vì \(H\) là trung điểm của \(BD\) (do \(HD = HB\)), nên \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD\).

Do đó, \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AE\) (vì \(HK \perp AC\) và \(DE \perp AC\)).

Vì \(K\) là trung điểm của \(AE\), nên \(KA = KE\).

**b) Chứng minh tam giác \(AAHE\) cân tại \(H\)**

Xét tam giác \(AAHE\):

- \(AH\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), nên \(AH \perp BC\).
- \(HE\) là đường cao từ \(H\) xuống \(AC\), nên \(HE \perp AC\).

Do đó, \(AH\) và \(HE\) đều vuông góc với \(BC\) và \(AC\) tương ứng.

Vì \(H\) là trung điểm của \(BD\) (do \(HD = HB\)), nên \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD\).

Do đó, tam giác \(AAHE\) cân tại \(H\) vì \(AH = HE\).

**c) Chứng minh \(\angle HEM = 90^\circ\)**

Gọi \(M\) là trung điểm của \(DC\).

Vì \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(H\), nên \(H\) là trung điểm của \(BD\).

Do đó, \(M\) là trung điểm của \(DC\).

Xét tam giác \(HDC\):

- \(H\) là trung điểm của \(BD\), nên \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD\).
- \(M\) là trung điểm của \(DC\).

Do đó, \(HM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(DC\).

Vì \(DE \perp AC\), nên \(DE \perp HK\).

Do đó, \(\angle HEM = 90^\circ\).