Chứng minh rằng tam giác BHX đồng dạng với tam giác BXC và XH/XC = BH/BA

Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông, tam giác đồng dạng và các đường cao.

### Phần a:
Chứng minh rằng tam giác \( BHX \) đồng dạng với tam giác \( BXC \) và \( \frac{XH}{XC} = \frac{BH}{BA} \).

1. **Tam giác \( BHX \) đồng dạng với tam giác \( BXC \)**:
- Ta có \( BA = BX \) (giả thiết).
- Xét tam giác \( BXC \), ta có \( \angle BXC \) là góc chung.
- Xét tam giác \( BHX \), ta có \( \angle BHX \) là góc chung.
- Do đó, hai tam giác \( BHX \) và \( BXC \) có hai góc bằng nhau (góc \( \angle BXC \) và góc \( \angle BHX \)), nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA).

2. **Tỉ lệ \( \frac{XH}{XC} = \frac{BH}{BA} \)**:
- Vì hai tam giác \( BHX \) và \( BXC \) đồng dạng, nên tỉ số các cạnh tương ứng của chúng bằng nhau:
\[
\frac{XH}{XC} = \frac{BH}{BX}
\]
- Do \( BX = BA \) (giả thiết), ta có:
\[
\frac{XH}{XC} = \frac{BH}{BA}
\]

### Phần b:
Chứng minh rằng tam giác \( DFX \) đồng dạng với tam giác \( DXC \) và tam giác \( XHF \) là tam giác cân.

1. **Tam giác \( DFX \) đồng dạng với tam giác \( DXC \)**:
- Gọi \( F \) là hình chiếu của \( E \) trên cạnh \( BC \).
- Ta có \( DE \perp AC \) và \( EF \perp BC \), nên \( DE \parallel EF \).
- Xét tam giác \( DFX \) và tam giác \( DXC \):
- \( \angle DFX = \angle DXC \) (góc chung).
- \( \angle DFX = \angle DXC \) (do \( DE \parallel EF \)).
- Do đó, hai tam giác \( DFX \) và \( DXC \) đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA).

2. **Tam giác \( XHF \) là tam giác cân**:
- Ta có \( DE = DX \) (giả thiết).
- Vì \( F \) là hình chiếu của \( E \) trên \( BC \), nên \( EF \perp BC \).
- Xét tam giác \( XHF \):
- \( \angle XHF = \angle XFH \) (do \( XH = XF \) vì \( DE = DX \)).
- Do đó, tam giác \( XHF \) là tam giác cân tại \( X \).

### Phần c:
Chứng minh rằng góc \( \angle CXE = \frac{1}{2} \angle ABX \).

1. **Góc \( \angle CXE \) và góc \( \angle ABX \)**:
- Ta có \( BA = BX \) (giả thiết), nên tam giác \( ABX \) là tam giác cân tại \( B \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( AX \), ta có \( \angle ABX = 2 \angle AMX \).
- Xét tam giác \( CXE \):
- Do \( DE = DX \) và \( DE \parallel EF \), nên \( \angle CXE = \angle AMX \).
- Do đó, ta có:
\[
\angle CXE = \frac{1}{2} \angle ABX
\]

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.