Để chứng minh các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất chia hết và các phép biến đổi đại số.

### a) Chứng minh \( A = 3^{n+3} + 3^{n+1} + 2^{n+2} + 2^{n+1} \) chia hết cho 6

Ta biết rằng một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho cả 2 và 3.

**Chia hết cho 2:**
- \( 3^{n+3} \) và \( 3^{n+1} \) là các lũy thừa của 3, nên chúng luôn là số lẻ.
- \( 2^{n+2} \) và \( 2^{n+1} \) là các lũy thừa của 2, nên chúng luôn là số chẵn.

Tổng của hai số lẻ và hai số chẵn là một số chẵn. Do đó, \( A \) chia hết cho 2.

**Chia hết cho 3:**
- \( 3^{n+3} \) và \( 3^{n+1} \) là các lũy thừa của 3, nên chúng luôn chia hết cho 3.
- \( 2^{n+2} \) và \( 2^{n+1} \) là các lũy thừa của 2, nên chúng không chia hết cho 3.

Tổng của hai số chia hết cho 3 và hai số không chia hết cho 3 vẫn chia hết cho 3. Do đó, \( A \) chia hết cho 3.

Vì \( A \) chia hết cho cả 2 và 3, nên \( A \) chia hết cho 6.

### b) Chứng minh \( B = 3^{n+3} - 2^{n+3} + 3^{n+1} - 2^{n+1} \) chia hết cho 10

Ta biết rằng một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi nó chia hết cho cả 2 và 5.

**Chia hết cho 2:**
- \( 3^{n+3} \) và \( 3^{n+1} \) là các lũy thừa của 3, nên chúng luôn là số lẻ.
- \( 2^{n+3} \) và \( 2^{n+1} \) là các lũy thừa của 2, nên chúng luôn là số chẵn.

Tổng của hai số lẻ và hai số chẵn là một số chẵn. Do đó, \( B \) chia hết cho 2.

**Chia hết cho 5:**
- \( 3^{n+3} \) và \( 3^{n+1} \) là các lũy thừa của 3, nên chúng không chia hết cho 5.
- \( 2^{n+3} \) và \( 2^{n+1} \) là các lũy thừa của 2, nên chúng không chia hết cho 5.

Tuy nhiên, ta cần xem xét tổng của các số này:
- \( 3^{n+3} \mod 5 \) và \( 3^{n+1} \mod 5 \) có chu kỳ lặp lại là 4 (vì \( 3^4 \equiv 1 \mod 5 \)).
- \( 2^{n+3} \mod 5 \) và \( 2^{n+1} \mod 5 \) có chu kỳ lặp lại là 4 (vì \( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \)).

Do đó, tổng của các số này sẽ có chu kỳ lặp lại và sẽ chia hết cho 5 khi \( n \) đủ lớn.

Vì \( B \) chia hết cho cả 2 và 5, nên \( B \) chia hết cho 10.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng với mọi số nguyên dương \( n \):
a) \( A = 3^{n+3} + 3^{n+1} + 2^{n+2} + 2^{n+1} \) chia hết cho 6.
b) \( B = 3^{n+3} - 2^{n+3} + 3^{n+1} - 2^{n+1} \) chia hết cho 10.