Để tìm các giá trị nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( 3xy + 2x - 5y - 6 = 0 \), ta có thể làm như sau:

1. **Phân tích phương trình:**
\[
3xy + 2x - 5y - 6 = 0
\]

2. **Chuyển đổi phương trình:**
\[
3xy + 2x - 5y = 6
\]

3. **Thử các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \):**

- **Thử \( x = 1 \):**
\[
3(1)y + 2(1) - 5y = 6 \implies 3y + 2 - 5y = 6 \implies -2y + 2 = 6 \implies -2y = 4 \implies y = -2
\]
Vậy \( (x, y) = (1, -2) \) là một nghiệm.

- **Thử \( x = -1 \):**
\[
3(-1)y + 2(-1) - 5y = 6 \implies -3y - 2 - 5y = 6 \implies -8y - 2 = 6 \implies -8y = 8 \implies y = -1
\]
Vậy \( (x, y) = (-1, -1) \) là một nghiệm.

- **Thử \( x = 2 \):**
\[
3(2)y + 2(2) - 5y = 6 \implies 6y + 4 - 5y = 6 \implies y + 4 = 6 \implies y = 2
\]
Vậy \( (x, y) = (2, 2) \) là một nghiệm.

- **Thử \( x = -2 \):**
\[
3(-2)y + 2(-2) - 5y = 6 \implies -6y - 4 - 5y = 6 \implies -11y - 4 = 6 \implies -11y = 10 \implies y = -\frac{10}{11}
\]
\( y \) không phải là số nguyên, nên không có nghiệm.

- **Thử \( x = 3 \):**
\[
3(3)y + 2(3) - 5y = 6 \implies 9y + 6 - 5y = 6 \implies 4y + 6 = 6 \implies 4y = 0 \implies y = 0
\]
Vậy \( (x, y) = (3, 0) \) là một nghiệm.

- **Thử \( x = -3 \):**
\[
3(-3)y + 2(-3) - 5y = 6 \implies -9y - 6 - 5y = 6 \implies -14y - 6 = 6 \implies -14y = 12 \implies y = -\frac{12}{14} = -\frac{6}{7}
\]
\( y \) không phải là số nguyên, nên không có nghiệm.

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình \( 3xy + 2x - 5y - 6 = 0 \) là:
\[
(x, y) = (1, -2), (-1, -1), (2, 2), (3, 0)
\]