Để giải phương trình này, ta cần giải từng phần của phương trình và sau đó kết hợp lại. Phương trình là:

\[ \frac{2}{3} \cdot |x + 6| - \frac{1}{4} |2x - 4| = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} (x - 3) \]

Bước 1: Giải quyết phần bên phải của phương trình trước:
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{8} (x - 3) \]
\[ = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} x + \frac{3}{8} \]
\[ = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} x + \frac{3}{8} \]
\[ = \frac{7}{8} - \frac{1}{8} x \]

Bước 2: Thay thế vào phương trình ban đầu:
\[ \frac{2}{3} \cdot |x + 6| - \frac{1}{4} |2x - 4| = \frac{7}{8} - \frac{1}{8} x \]

Bước 3: Nhân cả hai vế của phương trình với 24 để loại bỏ mẫu số:
\[ 24 \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot |x + 6| - \frac{1}{4} |2x - 4| \right) = 24 \cdot \left( \frac{7}{8} - \frac{1}{8} x \right) \]
\[ 8 \cdot 2 \cdot |x + 6| - 6 \cdot |2x - 4| = 3 \cdot 7 - 3 \cdot x \]
\[ 16 \cdot |x + 6| - 6 \cdot |2x - 4| = 21 - 3x \]

Bước 4: Giải phương trình này bằng cách xét các trường hợp của giá trị tuyệt đối.

Trường hợp 1: \( x + 6 \geq 0 \) và \( 2x - 4 \geq 0 \)
\[ x \geq -6 \] và \( x \geq 2 \)
\[ 16(x + 6) - 6(2x - 4) = 21 - 3x \]
\[ 16x + 96 - 12x + 24 = 21 - 3x \]
\[ 4x + 120 = 21 - 3x \]
\[ 7x = -99 \]
\[ x = -\frac{99}{7} \]

Trường hợp 2: \( x + 6 \geq 0 \) và \( 2x - 4 < 0 \)
\[ x \geq -6 \] và \( x < 2 \)
\[ 16(x + 6) - 6(-2x + 4) = 21 - 3x \]
\[ 16x + 96 + 12x - 24 = 21 - 3x \]
\[ 28x + 72 = 21 - 3x \]
\[ 31x = -51 \]
\[ x = -\frac{51}{31} \]

Trường hợp 3: \( x + 6 < 0 \) và \( 2x - 4 \geq 0 \)
\[ x < -6 \] và \( x \geq 2 \]
Trường hợp này không có giá trị thỏa mãn.

Trường hợp 4: \( x + 6 < 0 \) và \( 2x - 4 < 0 \)
\[ x < -6 \] và \( x < 2 \]
\[ 16(-x - 6) - 6(-2x + 4) = 21 - 3x \]
\[ -16x - 96 + 12x - 24 = 21 - 3x \]
\[ -4x - 120 = 21 - 3x \]
\[ -x = 141 \]
\[ x = -141 \]

Tóm lại, các giá trị của x thỏa mãn phương trình là:
\[ x = -\frac{99}{7}, x = -\frac{51}{31}, x = -141 \]