Để tìm giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \( x = 1 \), ta thay \( x = 1 \) vào hệ phương trình và giải hệ phương trình đó.

Hệ phương trình ban đầu là:
\[
\begin{cases}
mx - y = 2 \\
3x + my = 5
\end{cases}
\]

Thay \( x = 1 \) vào hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
m(1) - y = 2 \\
3(1) + my = 5
\end{cases}
\]

Ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
m - y = 2 \\
3 + my = 5
\end{cases}
\]

Giải phương trình thứ hai để tìm \( y \):
\[
3 + my = 5 \implies my = 2 \implies y = \frac{2}{m}
\]

Thay \( y = \frac{2}{m} \) vào phương trình thứ nhất:
\[
m - \frac{2}{m} = 2
\]

Nhân cả hai vế với \( m \) để loại mẫu:
\[
m^2 - 2 = 2m \implies m^2 - 2m - 2 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:
\[
m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}
\]

Vậy giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \( x = 1 \) là \( m = 1 + \sqrt{3} \) hoặc \( m = 1 - \sqrt{3} \).