Để giải bài toán này, ta cần thiết lập các phương trình dựa trên thông tin đã cho và giải hệ phương trình đó. Gọi \( x \) là số ngày người thứ nhất hoàn thành công việc một mình và \( y \) là số ngày người thứ hai hoàn thành công việc một mình.

1. Nếu cả hai người cùng làm trong 6 ngày thì xong công việc:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}
\]

2. Hai người làm cùng nhau trong 3 ngày, sau đó người thứ hai làm một mình trong 4 ngày nữa thì hoàn thành công việc:
\[
3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 4 \cdot \frac{1}{y} = 1
\]

Thay \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\) vào phương trình thứ hai:
\[
3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{y} = 1
\]
\[
\frac{1}{2} + \frac{4}{y} = 1
\]
\[
\frac{4}{y} = 1 - \frac{1}{2}
\]
\[
\frac{4}{y} = \frac{1}{2}
\]
\[
y = 8
\]

Thay \( y = 8 \) vào phương trình đầu tiên:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{24}
\]
\[
x = 24
\]

Vậy, nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 ngày và người thứ hai hoàn thành công việc trong 8 ngày.