Để chứng minh MN song song với Oz, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Gọi tọa độ các điểm:**
- Gọi tọa độ điểm O là (0,0).
- Gọi tọa độ điểm A là (a,0).
- Gọi tọa độ điểm B là (b,0) với \(a < b\).
- Gọi tọa độ điểm C là (0,c).
- Gọi tọa độ điểm D là (0,d) với \(c < d\).

2. **Điều kiện AB = CD:**
- Ta có \(AB = |b - a|\).
- Ta có \(CD = |d - c|\).
- Theo đề bài, \(AB = CD\) nên \( |b - a| = |d - c| \).

3. **Tọa độ trung điểm M của AC:**
- Trung điểm M của AC có tọa độ là \(M\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+c}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{c}{2}\right)\).

4. **Tọa độ trung điểm N của BD:**
- Trung điểm N của BD có tọa độ là \(N\left(\frac{b+0}{2}, \frac{0+d}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{d}{2}\right)\).

5. **Tính vector MN:**
- Vector \( \overrightarrow{MN} = \left(\frac{b}{2} - \frac{a}{2}, \frac{d}{2} - \frac{c}{2}\right) = \left(\frac{b-a}{2}, \frac{d-c}{2}\right)\).

6. **Tính vector Oz:**
- Vì Oz là tia phân giác của góc xOy, nên vector Oz có dạng \( \overrightarrow{Oz} = (k, k) \) với \(k\) là một hằng số dương.

7. **Kiểm tra tính song song:**
- Hai vector song song khi và chỉ khi tỉ số các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau.
- Ta có \( \frac{\frac{b-a}{2}}{k} = \frac{\frac{d-c}{2}}{k} \).
- Điều này tương đương với \( \frac{b-a}{d-c} = 1 \), mà điều này đúng vì \( |b - a| = |d - c| \).

Vậy, vector \( \overrightarrow{MN} \) và vector \( \overrightarrow{Oz} \) song song với nhau, tức là MN song song với Oz.