Cho hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + ay = 1 \\
ax - 3ay = 2a + 3
\end{cases}
\]

Ta cần tìm giá trị của \(a\) để hệ phương trình có các tính chất sau:

a) Hệ phương trình vô nghiệm

b) Hệ phương trình vô số nghiệm

c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

### Giải:

1. **Hệ phương trình vô nghiệm:**

Để hệ phương trình vô nghiệm, ta cần điều kiện:
\[
\frac{1}{a} \neq \frac{2a + 3}{-3a}
\]

Giải phương trình:
\[
\frac{1}{a} \neq \frac{2a + 3}{-3a}
\]

\[
1 \neq \frac{2a + 3}{-3}
\]

\[
-3 \neq 2a + 3
\]

\[
2a + 3 \neq -3
\]

\[
2a \neq -6
\]

\[
a \neq -3
\]

Vậy điều kiện để hệ phương trình vô nghiệm là \(a \neq -3\).

2. **Hệ phương trình vô số nghiệm:**

Để hệ phương trình vô số nghiệm, ta cần điều kiện:
\[
\frac{1}{a} = \frac{2a + 3}{-3a}
\]

Giải phương trình:
\[
\frac{1}{a} = \frac{2a + 3}{-3a}
\]

\[
1 = \frac{2a + 3}{-3}
\]

\[
-3 = 2a + 3
\]

\[
2a = -6
\]

\[
a = -3
\]

Vậy điều kiện để hệ phương trình vô số nghiệm là \(a = -3\).

3. **Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:**

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần điều kiện:
\[
\frac{1}{a} \neq \frac{2a + 3}{-3a}
\]

Điều này đã được giải ở phần a), tức là \(a \neq -3\).

Vậy điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(a \neq -3\).