Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC:**

- Tam giác ABC vuông tại A, với AB = 5 cm và góc C = 40°.
- Sử dụng định lý Pythagore để tính BC:
\[
BC = \frac{AB}{\sin C} = \frac{5}{\sin 40^\circ}
\]
- Sử dụng định lý Pythagore để tính AC:
\[
AC = AB \cdot \tan C = 5 \cdot \tan 40^\circ
\]

2. **Chứng minh AF \cdot AB = AE \cdot AC:**

- Xét tam giác ABD và tam giác ACD:
- Tam giác ABD vuông tại D.
- Tam giác ACD vuông tại D.
- Sử dụng định lý đồng dạng:
- Tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACD (góc chung A và góc vuông tại D).
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{AF}{AE} = \frac{AB}{AC}
\]
- Suy ra:
\[
AF \cdot AC = AE \cdot AB
\]
- Do đó:
\[
AF \cdot AB = AE \cdot AC
\]

Vậy ta đã chứng minh được AF \cdot AB = AE \cdot AC.