Để giải hệ phương trình đã cho, ta thực hiện các bước sau:

### a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \)

Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2x + y = 5m - 1 \\
x - 2y = 2
\end{cases}
\]

Thay \( m = 1 \) vào hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2x + y = 5(1) - 1 \\
x - 2y = 2
\end{cases}
\]

Tức là:
\[
\begin{cases}
2x + y = 4 \\
x - 2y = 2
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ta nhân phương trình thứ hai với 2 để có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
2x + y = 4 \\
2x - 4y = 4
\end{cases}
\]

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:
\[
(2x - 4y) - (2x + y) = 4 - 4
\]
\[
-5y = 0
\]
\[
y = 0
\]

Thay \( y = 0 \) vào phương trình \( x - 2y = 2 \):
\[
x - 2(0) = 2
\]
\[
x = 2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 1 \) là \( (x, y) = (2, 0) \).

### b) Tìm \( m \) để hệ có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn \( x^2 - 2y^2 = 1 \)

Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2x + y = 5m - 1 \\
x - 2y = 2
\end{cases}
\]

Giả sử nghiệm của hệ là \( (x, y) \). Ta đã có:
\[
x = 2 + 2y
\]

Thay vào phương trình thứ nhất:
\[
2(2 + 2y) + y = 5m - 1
\]
\[
4 + 4y + y = 5m - 1
\]
\[
4 + 5y = 5m - 1
\]
\[
5y = 5m - 5
\]
\[
y = m - 1
\]

Thay \( y = m - 1 \) vào \( x = 2 + 2y \):
\[
x = 2 + 2(m - 1)
\]
\[
x = 2 + 2m - 2
\]
\[
x = 2m
\]

Để hệ có nghiệm \( (x, y) \) thỏa mãn \( x^2 - 2y^2 = 1 \), ta thay \( x = 2m \) và \( y = m - 1 \) vào phương trình này:
\[
(2m)^2 - 2(m - 1)^2 = 1
\]
\[
4m^2 - 2(m^2 - 2m + 1) = 1
\]
\[
4m^2 - 2m^2 + 4m - 2 = 1
\]
\[
2m^2 + 4m - 2 = 1
\]
\[
2m^2 + 4m - 3 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:
\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 2 \), \( b = 4 \), \( c = -3 \):
\[
m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4}
\]
\[
m = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{4}
\]
\[
m = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{4}
\]
\[
m = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}
\]

Vậy \( m \) có hai giá trị:
\[
m = -1 + \frac{\sqrt{10}}{2} \quad \text{hoặc} \quad m = -1 - \frac{\sqrt{10}}{2}
\]