Để chứng minh rằng biểu thức \( P = 5x(2 - x) + (x + 1)(x + 9) \) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \( x \), ta thực hiện các bước sau:

**Bước 1: Khai triển và rút gọn biểu thức \( P \)**

\[ P = 5x(2 - x) + (x + 1)(x + 9) \]

Khai triển từng phần:

\[ 5x(2 - x) = 10x - 5x^2 \]

\[ (x + 1)(x + 9) = x^2 + 9x + x + 9 = x^2 + 10x + 9 \]

Gộp lại:

\[ P = 10x - 5x^2 + x^2 + 10x + 9 \]

Rút gọn:

\[ P = -4x^2 + 20x + 9 \]

**Bước 2: Xét dấu của biểu thức \( P \)**

Biểu thức \( P = -4x^2 + 20x + 9 \) là một hàm bậc hai có hệ số của \( x^2 \) là \( -4 \) (âm), do đó đồ thị của nó là một parabol mở xuống.

Để chứng minh \( P \) luôn âm, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số này và kiểm tra xem nó có âm hay không.

Giá trị cực đại của hàm số bậc hai \( ax^2 + bx + c \) đạt được tại \( x = -\frac{b}{2a} \).

Ở đây, \( a = -4 \) và \( b = 20 \):

\[ x = -\frac{20}{2(-4)} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \]

Thay \( x = \frac{5}{2} \) vào biểu thức \( P \):

\[ P\left(\frac{5}{2}\right) = -4\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 20\left(\frac{5}{2}\right) + 9 \]

\[ = -4 \cdot \frac{25}{4} + 20 \cdot \frac{5}{2} + 9 \]

\[ = -25 + 50 + 9 \]

\[ = 34 \]

Như vậy, giá trị cực đại của \( P \) là 34, không phải là âm. Do đó, biểu thức \( P \) không luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \( x \).

**Kết luận:** Biểu thức \( P = 5x(2 - x) + (x + 1)(x + 9) \) không luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \( x \).