Để chứng minh rằng nếu \( ab - cd \) chia hết cho \( p \) và \( a - c \) chia hết cho \( p \), thì \( b - d \) cũng chia hết cho \( p \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của số học modulo.

Giả sử \( a, b, c, d \) là các số tự nhiên và \( p \) là một số nguyên tố sao cho \((p, a) = 1\). Điều này có nghĩa là \( a \) và \( p \) là nguyên tố cùng nhau, tức là \( a \) không chia hết cho \( p \).

Giả sử \( ab - cd \equiv 0 \pmod{p} \) và \( a - c \equiv 0 \pmod{p} \). Điều này có nghĩa là:
\[ ab \equiv cd \pmod{p} \]
và
\[ a \equiv c \pmod{p} \]

Từ \( a \equiv c \pmod{p} \), ta có thể viết:
\[ a = c + kp \]
với \( k \) là một số nguyên.

Thay \( a = c + kp \) vào biểu thức \( ab \equiv cd \pmod{p} \), ta có:
\[ (c + kp)b \equiv cd \pmod{p} \]

Mở rộng biểu thức này, ta được:
\[ cb + kpb \equiv cd \pmod{p} \]

Vì \( kpb \) chia hết cho \( p \), nên \( kpb \equiv 0 \pmod{p} \). Do đó, biểu thức trên trở thành:
\[ cb \equiv cd \pmod{p} \]

Bây giờ, ta có thể trừ \( cd \) từ cả hai vế:
\[ cb - cd \equiv 0 \pmod{p} \]

Điều này có thể viết lại thành:
\[ c(b - d) \equiv 0 \pmod{p} \]

Vì \( c \) không chia hết cho \( p \) (do \( a \equiv c \pmod{p} \) và \( a \) không chia hết cho \( p \)), ta có thể suy ra rằng:
\[ b - d \equiv 0 \pmod{p} \]

Nói cách khác, \( b - d \) chia hết cho \( p \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng nếu \( ab - cd \) chia hết cho \( p \) và \( a - c \) chia hết cho \( p \), thì \( b - d \) cũng chia hết cho \( p \).