Để giải các phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện các bước biến đổi đại số để tìm giá trị của biến số \( x \). Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng phương trình:

### a)
\[ \frac{3}{1-4x} = \frac{2}{4x+1} - \frac{8+6x}{16x^2-1} \]

### b)
\[ \frac{3}{5x-1} + \frac{2}{3-5x} = \frac{4}{(1-5x)(5x-3)} \]

### c)
\[ \frac{x+2}{x+1} + \frac{3}{x-2} = \frac{3}{x^2-x-2} + 1 \]

### d)
\[ \frac{5-x}{4x^2-8x} + \frac{7}{8} = \frac{x-1}{2x(x-2)} + \frac{1}{8x-16} \]

### e)
\[ \frac{x+6}{x-5} + \frac{x-5}{x+6} = \frac{2x^2 + 23x + 61}{x^2 + x - 30} \]

### f)
\[ \frac{x^2-x}{x+3} - \frac{x^2}{x-3} = \frac{7x^2-3x}{9-x^2} \]

#### Giải chi tiết:

### a)
\[ \frac{3}{1-4x} = \frac{2}{4x+1} - \frac{8+6x}{(4x-1)(4x+1)} \]

Nhân cả hai vế với \( (1-4x)(4x+1) \):
\[ 3(4x+1) = 2(1-4x) - (8+6x) \]
\[ 12x + 3 = 2 - 8x - 8 - 6x \]
\[ 12x + 3 = -14x - 6 \]
\[ 26x = -9 \]
\[ x = -\frac{9}{26} \]

### b)
\[ \frac{3}{5x-1} + \frac{2}{3-5x} = \frac{4}{(1-5x)(5x-3)} \]

Nhận thấy rằng \( 3-5x = -(5x-3) \):
\[ \frac{3}{5x-1} - \frac{2}{5x-3} = \frac{4}{(1-5x)(5x-3)} \]

Nhân cả hai vế với \( (5x-1)(5x-3) \):
\[ 3(5x-3) - 2(5x-1) = 4 \]
\[ 15x - 9 - 10x + 2 = 4 \]
\[ 5x - 7 = 4 \]
\[ 5x = 11 \]
\[ x = \frac{11}{5} \]

### c)
\[ \frac{x+2}{x+1} + \frac{3}{x-2} = \frac{3}{x^2-x-2} + 1 \]

Nhân cả hai vế với \( (x+1)(x-2) \):
\[ (x+2)(x-2) + 3(x+1) = 3 + (x^2-x-2) \]
\[ x^2 - 4 + 3x + 3 = 3 + x^2 - x - 2 \]
\[ x^2 - 4 + 3x + 3 = x^2 - x + 1 \]
\[ 3x - x = 1 + 4 - 3 \]
\[ 2x = 2 \]
\[ x = 1 \]

### d)
\[ \frac{5-x}{4x^2-8x} + \frac{7}{8} = \frac{x-1}{2x(x-2)} + \frac{1}{8x-16} \]

Nhận thấy rằng \( 4x^2-8x = 4x(x-2) \) và \( 8x-16 = 8(x-2) \):
\[ \frac{5-x}{4x(x-2)} + \frac{7}{8} = \frac{x-1}{2x(x-2)} + \frac{1}{8(x-2)} \]

Nhân cả hai vế với \( 8x(x-2) \):
\[ 2(5-x) + 7x(x-2) = 4(x-1) + x \]
\[ 10 - 2x + 7x^2 - 14x = 4x - 4 + x \]
\[ 7x^2 - 16x + 10 = 5x - 4 \]
\[ 7x^2 - 21x + 14 = 0 \]
\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]
\[ (x-1)(x-2) = 0 \]
\[ x = 1 \text{ hoặc } x = 2 \]

### e)
\[ \frac{x+6}{x-5} + \frac{x-5}{x+6} = \frac{2x^2 + 23x + 61}{x^2 + x - 30} \]

Nhân cả hai vế với \( (x-5)(x+6) \):
\[ (x+6)^2 + (x-5)^2 = (2x^2 + 23x + 61) \]
\[ x^2 + 12x + 36 + x^2 - 10x + 25 = 2x^2 + 23x + 61 \]
\[ 2x^2 + 2x + 61 = 2x^2 + 23x + 61 \]
\[ 2x = 23x \]
\[ x = 0 \]

### f)
\[ \frac{x^2-x}{x+3} - \frac{x^2}{x-3} = \frac{7x^2-3x}{9-x^2} \]

Nhận thấy rằng \( 9-x^2 = (3-x)(3+x) \):
\[ \frac{x^2-x}{x+3} - \frac{x^2}{x-3} = \frac{7x^2-3x}{(3-x)(3+x)} \]

Nhân cả hai vế với \( (x+3)(x-3) \):
\[ (x^2-x)(x-3) - x^2(x+3) = 7x^2-3x \]
\[ x^3 - 3x^2 - x^2 + 3x - x^3 - 3x^2 = 7x^2 - 3x \]
\[ -7x^2 + 3x = 7x^2 - 3x \]
\[ -14x^2 + 6x = 0 \]
\[ -2x(7x - 3) = 0 \]
\[ x = 0 \text{ hoặc } x = \frac{3}{7} \]

Vậy các nghiệm của các phương trình là:
a) \( x = -\frac{9}{26} \)
b) \( x = \frac{11}{5} \)
c) \( x = 1 \)
d) \( x = 1 \text{ hoặc } x = 2 \)
e) \( x = 0 \)
f) \( x = 0 \text{ hoặc } x = \frac{3}{7} \)