Để chứng minh rằng \( F(x) = x^2 - 5x - 1 \) là nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x - 5 \) trên \( \mathbb{R} \), chúng ta cần kiểm tra đạo hàm của \( F(x) \) và so sánh với \( f(x) \).

Tính đạo hàm của \( F(x) \):

\[
F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 5x - 1)
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm:

1. Đạo hàm của \( x^2 \) là \( 2x \).
2. Đạo hàm của \( -5x \) là \( -5 \).
3. Đạo hàm của hằng số \( -1 \) là 0.

Kết hợp lại, ta có:

\[
F'(x) = 2x - 5
\]

Như vậy, chúng ta nhận thấy rằng:

\[
F'(x) = f(x)
\]

Vì vậy, \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) = 2x - 5 \) trên \( \mathbb{R} \).

Kết luận: \( F(x) = x^2 - 5x - 1 \) là nguyên hàm của \( f(x) = 2x - 5 \) trên \( \mathbb{R} \).