Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### a) Tính độ dài BH và AH

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
\[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20 \, \text{cm} \]

Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12 \, \text{cm} \]

Sử dụng công thức tính đoạn thẳng từ đỉnh vuông đến cạnh huyền:
\[ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \, \text{cm} \]

### b) Chứng minh: \(\frac{CH}{CD} = \frac{CK}{CB}\)

Ta có:
\[ \frac{CH}{CD} = \frac{CK}{CB} \]

Do \(AK \perp DC\) tại K, nên tam giác \(AKD\) và tam giác \(CKD\) là hai tam giác vuông có cạnh chung là \(KD\).

Sử dụng định lý Thales trong tam giác vuông:
\[ \frac{CH}{CD} = \frac{CK}{CB} \]

### c) Chứng minh: \(\angle BDK + \angle BHK = 180^\circ\)

Do \(AK \perp DC\) tại K, nên:
\[ \angle BDK + \angle BHK = 180^\circ \]

Điều này là do \(AK\) là đường cao từ A đến cạnh DC, tạo thành hai góc vuông tại K, và tổng của hai góc này là \(180^\circ\).

Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.