Để tính tổng \( S = 2 + 22 + 222 + 2222 + 22222 \), ta có thể phân tích từng số hạng trong tổng này.

1. \( 2 \)
2. \( 22 = 2 \times 10 + 2 \)
3. \( 222 = 2 \times 100 + 2 \times 10 + 2 \)
4. \( 2222 = 2 \times 1000 + 2 \times 100 + 2 \times 10 + 2 \)
5. \( 22222 = 2 \times 10000 + 2 \times 1000 + 2 \times 100 + 2 \times 10 + 2 \)

Bây giờ, ta cộng tất cả các số này lại:

\[
S = 2 + 22 + 222 + 2222 + 22222
\]

Ta có thể viết lại như sau:

\[
S = 2 + (2 \times 10 + 2) + (2 \times 100 + 2 \times 10 + 2) + (2 \times 1000 + 2 \times 100 + 2 \times 10 + 2) + (2 \times 10000 + 2 \times 1000 + 2 \times 100 + 2 \times 10 + 2)
\]

Bây giờ, ta nhóm các số hạng có cùng hệ số 2 lại:

\[
S = 2 \times (1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + (1000 + 100 + 10 + 1) + (10000 + 1000 + 100 + 10 + 1))
\]

Tính các giá trị trong ngoặc:

\[
1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + (1000 + 100 + 10 + 1) + (10000 + 1000 + 100 + 10 + 1)
\]

\[
= 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111
\]

Bây giờ, ta cộng các giá trị này lại:

\[
1 + 11 = 12
\]
\[
12 + 111 = 123
\]
\[
123 + 1111 = 1234
\]
\[
1234 + 11111 = 12345
\]

Vậy:

\[
S = 2 \times 12345 = 24690
\]

Do đó, tổng \( S = 2 + 22 + 222 + 2222 + 22222 \) là \( 24690 \).