Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

**1) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật:**

- Ta có tam giác ABC vuông tại B, nên góc \( \angle ABC = 90^\circ \).
- Đường thẳng Ax song song với BC, nên góc \( \angle DAB = \angle ABC = 90^\circ \).
- Đường thẳng Cy song song với BA, nên góc \( \angle DCB = \angle CBA = 90^\circ \).
- Do đó, tứ giác ABCD có 4 góc vuông, nên ABCD là hình chữ nhật.

**2) Chứng minh tứ giác COBM là hình thang:**

- Gọi M là điểm đối xứng của D qua C, tức là \( CM = CD \) và \( C \) là trung điểm của \( DM \).
- Vì \( D \) nằm trên đường thẳng song song với \( BA \) qua \( C \), nên \( M \) cũng nằm trên đường thẳng song song với \( BA \) qua \( C \).
- Do đó, \( M \) nằm trên đường thẳng song song với \( BA \).
- Ta có \( \angle BCO = \angle BCA \) (do \( O \) nằm trên \( AC \)).
- Vì \( M \) đối xứng với \( D \) qua \( C \), nên \( M \) cũng nằm trên đường thẳng song song với \( BA \).
- Do đó, \( BM \parallel AC \).

Vậy tứ giác \( COBM \) có \( BM \parallel AC \), nên \( COBM \) là hình thang.