Để chứng minh rằng \( AE \perp BI \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và đường thẳng:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), \( AB < AC \).
- \( I \) là trung điểm của cạnh \( AC \).
- Qua \( I \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( BC \).
- Qua \( C \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( AC \), chúng cắt nhau tại \( E \).

2. **Chứng minh rằng \( AE \perp BI \):**
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AI = IC \).
- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), nên \( AH \perp BC \).
- Gọi \( D \) là giao điểm của \( AE \) và \( BC \). Vì \( E \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AC \) tại \( C \), nên \( AE \perp AC \).
- Do đó, \( AE \) là đường cao của tam giác \( AEC \), và \( D \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), nên \( D \) trùng với \( H \).

3. **Xét tứ giác \( AIEC \):**
- Ta có \( AI = IC \) và \( AE \perp IC \) (vì \( E \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AC \) tại \( C \)).
- Do đó, tứ giác \( AIEC \) là hình chữ nhật (vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau, và một góc vuông).

4. **Chứng minh \( AE \perp BI \):**
- Trong tứ giác \( AIEC \), ta có \( AE \perp IC \) và \( BI \perp IC \) (vì \( I \) là trung điểm của \( AC \) và \( BI \) là đường trung trực của \( AC \)).
- Do đó, \( AE \) và \( BI \) đều vuông góc với \( IC \), nên \( AE \parallel BI \).
- Vì \( AE \) và \( BI \) đều vuông góc với \( IC \), nên \( AE \perp BI \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AE \perp BI \).