Chúng ta bắt đầu với phương trình đầu tiên:

\[ a^2 + b^2 + c^2 = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \]

Mở rộng các bình phương:

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
\[ (b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2 \]
\[ (c - a)^2 = c^2 - 2ca + a^2 \]

Thay các biểu thức này vào phương trình:

\[ a^2 + b^2 + c^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \]

Kết hợp các hạng tử lại:

\[ a^2 + b^2 + c^2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2 \]

\[ a^2 + b^2 + c^2 = 2a^2 + 3b^2 + 3c^2 - 2ab - 4bc - 2ca \]

Chúng ta có:

\[ a^2 + b^2 + c^2 = 2a^2 + 3b^2 + 3c^2 - 2ab - 4bc - 2ca \]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\[ 0 = a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 4bc - 2ca \]

Chúng ta có thể nhóm lại:

\[ 0 = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \]

\[ 0 = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \]

Vì các bình phương đều không âm, phương trình này chỉ có thể đúng nếu:

\[ (a - b)^2 = 0 \]
\[ (b - c)^2 = 0 \]
\[ (c - a)^2 = 0 \]

Điều này có nghĩa là:

\[ a = b = c \]

Bây giờ, chúng ta sử dụng phương trình thứ hai:

\[ ab + b + ca = 9 \]

Thay \( a = b = c \) vào:

\[ a^2 + a + a^2 = 9 \]

\[ 2a^2 + a = 9 \]

Giải phương trình bậc hai này:

\[ 2a^2 + a - 9 = 0 \]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Ở đây, \( a = 2 \), \( b = 1 \), và \( c = -9 \):

\[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 72}}{4} \]

\[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{4} \]

Chúng ta có hai nghiệm:

\[ a = \frac{-1 + \sqrt{73}}{4} \]
\[ a = \frac{-1 - \sqrt{73}}{4} \]

Vì \( a, b, c \) là các số thực, chúng ta chọn nghiệm dương:

\[ a = \frac{-1 + \sqrt{73}}{4} \]

Vì \( a = b = c \), chúng ta có:

\[ a + b + c = 3a = 3 \times \frac{-1 + \sqrt{73}}{4} = \frac{3(-1 + \sqrt{73})}{4} = \frac{-3 + 3\sqrt{73}}{4} \]

Vậy:

\[ a + b + c = \frac{-3 + 3\sqrt{73}}{4} \]