Để hệ phương trình sau có nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn \(x^2 + y^2 = 13\):

\[
\begin{cases}
2x - y + 1 = m \\
3x + y = 4m + 1 \\
x^2 + y^2 = 13
\end{cases}
\]

Ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình thứ nhất:
\[ y = 2x + 1 - m \]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 3x + (2x + 1 - m) = 4m + 1 \]
\[ 5x + 1 - m = 4m + 1 \]
\[ 5x - m = 4m \]
\[ 5x = 5m \]
\[ x = m \]

Thay \( x = m \) vào phương trình thứ nhất:
\[ y = 2m + 1 - m \]
\[ y = m + 1 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (m, m + 1)\).

Thay \((x, y) = (m, m + 1)\) vào phương trình \(x^2 + y^2 = 13\):
\[ m^2 + (m + 1)^2 = 13 \]
\[ m^2 + m^2 + 2m + 1 = 13 \]
\[ 2m^2 + 2m + 1 = 13 \]
\[ 2m^2 + 2m - 12 = 0 \]
\[ m^2 + m - 6 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \]
\[ m = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Vậy:
\[ m = 2 \]
hoặc
\[ m = -3 \]

Vậy giá trị của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm là \(m = 2\) hoặc \(m = -3\).