Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( A = x^3 + 6x - 13 \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số:**
\[
A' = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x - 13) = 3x^2 + 6
\]

2. **Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( A' = 0 \):**
\[
3x^2 + 6 = 0
\]
\[
3x^2 = -6
\]
\[
x^2 = -2
\]
Phương trình này không có nghiệm thực vì \( x^2 \) không thể âm.

3. **Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \):**
\[
\lim_{x \to \infty} (x^3 + 6x - 13) = \infty
\]
\[
\lim_{x \to -\infty} (x^3 + 6x - 13) = -\infty
\]

4. **Xét tính đơn điệu của hàm số:**
Đạo hàm bậc nhất \( A' = 3x^2 + 6 \) luôn dương với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \) (vì \( 3x^2 + 6 > 0 \) với mọi \( x \)). Điều này cho thấy hàm số \( A = x^3 + 6x - 13 \) luôn đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó.

Do hàm số luôn đồng biến và không có điểm tới hạn, giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ xảy ra khi \( x \to -\infty \). Khi đó, giá trị của hàm số \( A \to -\infty \).

**Kết luận:** Hàm số \( A = x^3 + 6x - 13 \) không có giá trị nhỏ nhất hữu hạn. Giá trị của hàm số có thể giảm xuống vô hạn khi \( x \to -\infty \).