Để giải bài toán này, ta cần xác định số ngày làm việc của đội công nhân trong mỗi giai đoạn và năng suất làm việc của đội công nhân.

Gọi \( x \) là số ngày làm việc của đội công nhân trong mỗi giai đoạn.

1. Ở giai đoạn đầu, đội công nhân trải được 4200 m² mặt đường trong \( x \) ngày. Vậy năng suất làm việc của đội công nhân trong giai đoạn đầu là:
\[ \frac{4200}{x} \, \text{m²/ngày} \]

2. Ở giai đoạn hai, đội công nhân tăng năng suất thêm 200 m²/ngày. Vậy năng suất làm việc của đội công nhân trong giai đoạn hai là:
\[ \frac{4200}{x} + 200 \, \text{m²/ngày} \]

3. Tổng diện tích mặt đường cần trải là 9800 m². Diện tích mặt đường còn lại sau giai đoạn đầu là:
\[ 9800 - 4200 = 5600 \, \text{m²} \]

4. Đội công nhân hoàn thành 5600 m² mặt đường còn lại trong \( x \) ngày với năng suất mới. Vậy ta có phương trình:
\[ x \left( \frac{4200}{x} + 200 \right) = 5600 \]

5. Giải phương trình trên:
\[ 4200 + 200x = 5600 \]
\[ 200x = 5600 - 4200 \]
\[ 200x = 1400 \]
\[ x = \frac{1400}{200} \]
\[ x = 7 \]

Vậy đội công nhân đã hoàn thành công việc trong 7 ngày cho mỗi giai đoạn. Tổng cộng, đội công nhân đã hoàn thành công việc trong:
\[ 7 + 7 = 14 \, \text{ngày} \]

Đáp án: Đội công nhân đã hoàn thành công việc trong 14 ngày.