Để giải phương trình \(\frac{\cos x}{(1 + \sin x)(\cot x - \cos x)} = \frac{\tan x}{\cos x}\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi phương trình ban đầu:**

\[
\frac{\cos x}{(1 + \sin x)(\cot x - \cos x)} = \frac{\tan x}{\cos x}
\]

2. **Đưa tất cả về dạng các hàm số cơ bản:**

\[
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \quad \text{và} \quad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

Thay vào phương trình:

\[
\frac{\cos x}{(1 + \sin x)\left(\frac{\cos x}{\sin x} - \cos x\right)} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x}
\]

3. **Đơn giản hóa biểu thức:**

\[
\frac{\cos x}{(1 + \sin x)\left(\frac{\cos x - \cos x \sin x}{\sin x}\right)} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}
\]

\[
\frac{\cos x}{(1 + \sin x)\left(\frac{\cos x (1 - \sin x)}{\sin x}\right)} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}
\]

\[
\frac{\cos x \cdot \sin x}{(1 + \sin x) \cos x (1 - \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}
\]

\[
\frac{\sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}
\]

4. **Nhận thấy rằng \((1 + \sin x)(1 - \sin x) = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x\):**

\[
\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}
\]

Phương trình này luôn đúng với mọi \(x\) mà các hàm số được xác định.

5. **Xác định miền xác định của phương trình:**

Phương trình ban đầu không xác định khi \(\cos x = 0\) hoặc \(\cot x - \cos x = 0\).

- \(\cos x = 0\) khi \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\).
- \(\cot x - \cos x = 0\) khi \(\frac{\cos x}{\sin x} - \cos x = 0\), tức là \(\cos x (\frac{1}{\sin x} - 1) = 0\). Điều này xảy ra khi \(\sin x = 1\), tức là \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Do đó, nghiệm của phương trình là:

\[
x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là tất cả các giá trị \(x\) ngoại trừ \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).