Cho hình thang cân QACF có QA // CF và QA < CF

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a, b và c.

### a) Chứng minh tam giác PQA cân tại P

Cho hình thang cân QACF với QA // CF và QA < CF. Gọi P là giao điểm của FQ và CA kéo dài.

- Vì hình thang QACF cân nên hai góc ở đáy bằng nhau: \(\angle QAC = \angle ACF\).
- Do QA // CF, nên \(\angle QAF = \angle AFC\) (góc so le trong).
- Xét tam giác PQA và tam giác PFA:
- \(\angle QAP = \angle AFP\) (vì \(\angle QAF = \angle AFC\)).
- \(\angle QPA = \angle FPA\) (góc đối đỉnh).

Vậy tam giác PQA cân tại P.

### b) Chứng minh PF = PC

- Xét tam giác PFA và tam giác PCA:
- \(\angle PFA = \angle PCA\) (góc đối đỉnh).
- \(\angle AFP = \angle CAP\) (vì \(\angle QAF = \angle AFC\) và \(\angle QAP = \angle AFP\)).

Do đó, tam giác PFA và tam giác PCA đồng dạng (góc-góc).

- Vì tam giác QACF là hình thang cân, nên \(QA = CF\).
- Do đó, trong tam giác đồng dạng PFA và PCA, ta có PF = PC.

### c) Chứng minh \(\angle PAF = \angle PQC\)

- Xét tam giác PAF và tam giác PQC:
- \(\angle PAF = \angle PQC\) (vì \(\angle QAF = \angle AFC\) và \(\angle QAP = \angle AFP\)).
- \(\angle AFP = \angle CAP\) (vì \(\angle QAF = \angle AFC\) và \(\angle QAP = \angle AFP\)).

Do đó, \(\angle PAF = \angle PQC\).

Vậy chúng ta đã chứng minh được các phần a, b và c của bài toán.