Để chứng minh rằng \(2021 \times 2022 \times 2023 \times 2024 + 1\) là số chính phương, ta có thể sử dụng một số biến đổi đại số.

Đặt \( n = 2022 \). Khi đó, ta có:
\[ 2021 = n - 1 \]
\[ 2022 = n \]
\[ 2023 = n + 1 \]
\[ 2024 = n + 2 \]

Vậy biểu thức cần chứng minh là:
\[ (n-1) \times n \times (n+1) \times (n+2) + 1 \]

Ta nhóm các cặp số lại với nhau:
\[ [(n-1) \times (n+2)] \times [n \times (n+1)] + 1 \]

Tính từng cặp:
\[ (n-1)(n+2) = n^2 + n - 2 \]
\[ n(n+1) = n^2 + n \]

Vậy biểu thức trở thành:
\[ (n^2 + n - 2) \times (n^2 + n) + 1 \]

Đặt \( x = n^2 + n \), ta có:
\[ (x - 2) \times x + 1 \]
\[ = x^2 - 2x + 1 \]
\[ = (x - 1)^2 \]

Do đó, biểu thức ban đầu là một số chính phương:
\[ 2021 \times 2022 \times 2023 \times 2024 + 1 = (n^2 + n - 1)^2 \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( 2021 \times 2022 \times 2023 \times 2024 + 1 \) là một số chính phương.