Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Rút gọn biểu thức B

Biểu thức B được cho như sau:
\[ B = \left( \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{2} \]

Ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức trong ngoặc trước.

1. **Phần đầu tiên:**
\[ \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} \]

2. **Phần thứ hai:**
\[ \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \]

3. **Phần thứ ba:**
\[ \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \]

Sau đó, ta cộng ba phần này lại và nhân với \(\frac{\sqrt{x} - 1}{2}\).

### b. Chứng minh rằng \( B > 0 \) với mọi \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \)

Để chứng minh \( B > 0 \), ta cần xem xét từng phần của biểu thức B và chứng minh rằng tổng của chúng luôn dương khi \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \).

1. **Phần đầu tiên:**
\[ \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} \]
Khi \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \), \( x\sqrt{x} - 1 \) luôn dương vì \( x\sqrt{x} \) tăng nhanh hơn 1.

2. **Phần thứ hai:**
\[ \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \]
Khi \( x > 0 \), \( x + \sqrt{x} + 1 \) luôn dương và lớn hơn \(\sqrt{x}\), do đó phân số này luôn dương.

3. **Phần thứ ba:**
\[ \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \]
Khi \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \), \( 1 - \sqrt{x} \) có thể âm hoặc dương. Tuy nhiên, khi nhân với \(\frac{\sqrt{x} - 1}{2}\), ta cần xem xét kỹ hơn.

Tổng hợp lại, ta cần chứng minh rằng tổng của ba phần này nhân với \(\frac{\sqrt{x} - 1}{2}\) luôn dương. Điều này có thể được thực hiện bằng cách phân tích chi tiết hơn hoặc sử dụng bất đẳng thức.

Tóm lại, để chứng minh \( B > 0 \), ta cần chứng minh rằng từng phần của biểu thức trong ngoặc luôn dương hoặc tổng của chúng luôn dương, sau đó nhân với \(\frac{\sqrt{x} - 1}{2}\) vẫn giữ nguyên tính dương.