Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của số nguyên và các phép biến đổi đại số.

Đầu tiên, ta có phương trình:
\[
(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 210
\]

Sử dụng đẳng thức sau cho ba số \(x, y, z\):
\[
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
\]

Trong trường hợp này, đặt \(x = a - b\), \(y = b - c\), và \(z = c - a\). Khi đó, ta có:
\[
x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0
\]

Do đó, phương trình trở thành:
\[
x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz
\]

Vì \(x + y + z = 0\), ta có:
\[
x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz = 210
\]

Suy ra:
\[
xyz = 70
\]

Vì \(a, b, c\) thuộc \(\mathbb{Z}\), nên \(x, y, z\) cũng thuộc \(\mathbb{Z}\). Ta cần tìm các giá trị nguyên của \(x, y, z\) sao cho tích của chúng bằng 70. Các bộ ba số nguyên có tích bằng 70 là:
\[
(1, 2, 35), (1, -2, -35), (-1, 2, -35), (-1, -2, 35), \ldots
\]

Tuy nhiên, ta cần tìm các giá trị sao cho tổng các giá trị tuyệt đối của chúng là nhỏ nhất. Ta có:
\[
A = |a - b| + |b - c| + |c - a| = |x| + |y| + |z|
\]

Xét các giá trị của \(x, y, z\):
- Với \(x = 1, y = 2, z = 35\), ta có \(A = |1| + |2| + |35| = 1 + 2 + 35 = 38\)
- Với \(x = 1, y = -2, z = -35\), ta có \(A = |1| + |-2| + |-35| = 1 + 2 + 35 = 38\)
- Với \(x = -1, y = 2, z = -35\), ta có \(A = |-1| + |2| + |-35| = 1 + 2 + 35 = 38\)
- Với \(x = -1, y = -2, z = 35\), ta có \(A = |-1| + |-2| + |35| = 1 + 2 + 35 = 38\)

Các trường hợp khác cũng cho kết quả tương tự. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(A\) là:
\[
A = 38
\]

Vậy, giá trị của \(A\) là \(38\).