Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \(4x + 3y = 5\), ta cần tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình này.

Phương trình có thể được viết lại như sau:
\[ 4x + 3y = 5 \]

Ta sẽ thử các giá trị nguyên của \(x\) và xem liệu có giá trị nguyên tương ứng của \(y\) thỏa mãn phương trình hay không.

1. **Thử \(x = 0\):**
\[ 4(0) + 3y = 5 \]
\[ 3y = 5 \]
\[ y = \frac{5}{3} \]
\(y\) không phải là số nguyên.

2. **Thử \(x = 1\):**
\[ 4(1) + 3y = 5 \]
\[ 4 + 3y = 5 \]
\[ 3y = 1 \]
\[ y = \frac{1}{3} \]
\(y\) không phải là số nguyên.

3. **Thử \(x = -1\):**
\[ 4(-1) + 3y = 5 \]
\[ -4 + 3y = 5 \]
\[ 3y = 9 \]
\[ y = 3 \]
\(y\) là số nguyên. Vậy \((x, y) = (-1, 3)\) là một nghiệm nguyên.

4. **Thử \(x = 2\):**
\[ 4(2) + 3y = 5 \]
\[ 8 + 3y = 5 \]
\[ 3y = -3 \]
\[ y = -1 \]
\(y\) là số nguyên. Vậy \((x, y) = (2, -1)\) là một nghiệm nguyên.

5. **Thử \(x = -2\):**
\[ 4(-2) + 3y = 5 \]
\[ -8 + 3y = 5 \]
\[ 3y = 13 \]
\[ y = \frac{13}{3} \]
\(y\) không phải là số nguyên.

6. **Thử \(x = 3\):**
\[ 4(3) + 3y = 5 \]
\[ 12 + 3y = 5 \]
\[ 3y = -7 \]
\[ y = -\frac{7}{3} \]
\(y\) không phải là số nguyên.

Từ các thử nghiệm trên, ta thấy rằng các nghiệm nguyên của phương trình \(4x + 3y = 5\) là:
\[ (x, y) = (-1, 3) \]
\[ (x, y) = (2, -1) \]

Vậy, nghiệm nguyên của phương trình \(4x + 3y = 5\) là \((-1, 3)\) và \((2, -1)\).