Để xác định dấu của biểu thức \( P = a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức hoặc các tính chất của tam giác.

Trước hết, ta nhận thấy rằng biểu thức \( P \) có thể được viết lại dưới dạng khác để dễ phân tích hơn. Cụ thể, ta có thể viết lại \( P \) như sau:

\[ P = (a^2 - b^2 - c^2)^2 + (b^2 - c^2 - a^2)^2 + (c^2 - a^2 - b^2)^2 \]

Để chứng minh điều này, ta cần mở rộng và kiểm tra các hạng tử:

1. Mở rộng các bình phương:
\[ (a^2 - b^2 - c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 + 2b^2c^2 \]
\[ (b^2 - c^2 - a^2)^2 = b^4 + c^4 + a^4 - 2b^2c^2 - 2b^2a^2 + 2c^2a^2 \]
\[ (c^2 - a^2 - b^2)^2 = c^4 + a^4 + b^4 - 2c^2a^2 - 2c^2b^2 + 2a^2b^2 \]

2. Cộng các biểu thức trên:
\[ (a^2 - b^2 - c^2)^2 + (b^2 - c^2 - a^2)^2 + (c^2 - a^2 - b^2)^2 = 3(a^4 + b^4 + c^4) - 6(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \]

3. Chia cả hai vế cho 3:
\[ \frac{(a^2 - b^2 - c^2)^2 + (b^2 - c^2 - a^2)^2 + (c^2 - a^2 - b^2)^2}{3} = a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2 \]

Do đó, ta có:
\[ P = (a^2 - b^2 - c^2)^2 + (b^2 - c^2 - a^2)^2 + (c^2 - a^2 - b^2)^2 \]

Vì bình phương của một số luôn không âm, nên các biểu thức \((a^2 - b^2 - c^2)^2\), \((b^2 - c^2 - a^2)^2\), và \((c^2 - a^2 - b^2)^2\) đều không âm. Tổng của các số không âm cũng không âm.

Do đó, \( P \geq 0 \).

Vì \( a, b, c \) là độ dài các cạnh của một tam giác, nên \( a, b, c \) đều dương, và ít nhất một trong các biểu thức \((a^2 - b^2 - c^2)^2\), \((b^2 - c^2 - a^2)^2\), hoặc \((c^2 - a^2 - b^2)^2\) sẽ dương, trừ khi \( a = b = c \). Tuy nhiên, ngay cả khi \( a = b = c \), \( P \) vẫn bằng 0.

Kết luận: \( P \geq 0 \), và dấu của \( P \) là không âm.