Để giải bài toán này, ta cần xác định số sản phẩm mà mỗi tổ sản xuất trong tháng đầu tiên, sau đó tính số sản phẩm mà mỗi tổ sản xuất trong tháng thứ hai dựa trên tỷ lệ thay đổi đã cho.

Gọi \( x \) là số sản phẩm tổ 1 sản xuất trong tháng đầu tiên và \( y \) là số sản phẩm tổ 2 sản xuất trong tháng đầu tiên. Ta có phương trình:

\[ x + y = 800 \]

Trong tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất vượt 12%, tức là sản xuất được \( x + 0.12x = 1.12x \) sản phẩm. Tổ 2 sản xuất giảm 10%, tức là sản xuất được \( y - 0.10y = 0.90y \) sản phẩm. Tổng số sản phẩm của cả hai tổ trong tháng thứ hai là 786 sản phẩm, do đó ta có phương trình:

\[ 1.12x + 0.90y = 786 \]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:

1. \( x + y = 800 \)
2. \( 1.12x + 0.90y = 786 \)

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình (1), ta có:

\[ y = 800 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình (2):

\[ 1.12x + 0.90(800 - x) = 786 \]

Giải phương trình này:

\[ 1.12x + 720 - 0.90x = 786 \]
\[ 1.12x - 0.90x = 786 - 720 \]
\[ 0.22x = 66 \]
\[ x = \frac{66}{0.22} \]
\[ x = 300 \]

Thay \( x = 300 \) vào phương trình \( y = 800 - x \):

\[ y = 800 - 300 \]
\[ y = 500 \]

Vậy, trong tháng đầu tiên, tổ 1 sản xuất 300 sản phẩm và tổ 2 sản xuất 500 sản phẩm.

Trong tháng thứ hai, số sản phẩm mỗi tổ sản xuất là:

- Tổ 1: \( 1.12 \times 300 = 336 \) sản phẩm
- Tổ 2: \( 0.90 \times 500 = 450 \) sản phẩm

Vậy, trong tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất 336 sản phẩm và tổ 2 sản xuất 450 sản phẩm.