Cho hệ phương trình: mx - y = 9 và 3x + y = 3m. Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y thỏa mãn x và y trái dấu

Để tìm các giá trị của tham số \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) thỏa mãn \( x \) và \( y \) trái dấu, ta thực hiện các bước sau:

Hệ phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
mx - y = 9 \quad (1) \\
3x + y = 3m \quad (2)
\end{cases}
\]

Trước hết, ta cộng phương trình (1) và (2) để loại bỏ \( y \):
\[
mx - y + 3x + y = 9 + 3m
\]
\[
(m + 3)x = 9 + 3m
\]
\[
x = \frac{9 + 3m}{m + 3} \quad (3)
\]

Tiếp theo, ta trừ phương trình (2) cho phương trình (1) để loại bỏ \( y \):
\[
3x + y - (mx - y) = 3m - 9
\]
\[
3x + y - mx + y = 3m - 9
\]
\[
(3 - m)x + 2y = 3m - 9
\]
\[
2y = 3m - 9 - (3 - m)x
\]
Thay giá trị của \( x \) từ phương trình (3) vào:
\[
2y = 3m - 9 - (3 - m)\left(\frac{9 + 3m}{m + 3}\right)
\]
\[
2y = 3m - 9 - \frac{(3 - m)(9 + 3m)}{m + 3}
\]
\[
2y = 3m - 9 - \frac{27 + 9m - 9m - 3m^2}{m + 3}
\]
\[
2y = 3m - 9 - \frac{27 - 3m^2}{m + 3}
\]
\[
2y = 3m - 9 - 9 + m
\]
\[
2y = 3m - 9 - 9 + m
\]
\[
2y = -18 + 4m
\]
\[
y = \frac{-18 + 4m}{2}
\]
\[
y = -9 + 2m \quad (4)
\]

Để \( x \) và \( y \) trái dấu, ta cần \( x \cdot y < 0 \). Thay giá trị của \( x \) và \( y \) từ phương trình (3) và (4) vào:
\[
\left(\frac{9 + 3m}{m + 3}\right) \cdot (-9 + 2m) < 0
\]

Xét dấu của biểu thức:
\[
(9 + 3m)(-9 + 2m) < 0
\]
\[
-81 + 18m - 27m + 6m^2 < 0
\]
\[
6m^2 - 9m - 81 < 0
\]
\[
2m^2 - 3m - 27 < 0
\]

Giải bất phương trình bậc hai này:
\[
\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225
\]
\[
m_1 = \frac{3 + \sqrt{225}}{4} = \frac{3 + 15}{4} = \frac{18}{4} = 4.5
\]
\[
m_2 = \frac{3 - \sqrt{225}}{4} = \frac{3 - 15}{4} = \frac{-12}{4} = -3
\]

Bất phương trình \( 2m^2 - 3m - 27 < 0 \) có nghiệm khi:
\[
-3 < m < 4.5
\]

Vậy các giá trị của tham số \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) thỏa mãn \( x \) và \( y \) trái dấu là:
\[
-3 < m < 4.5
\]