Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và các phép chiếu vuông góc.

### a) Chứng minh rằng: I là trung điểm của A1C1

1. **Tính chất của hình bình hành:**
- Trong hình bình hành ABCD, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.

2. **Hình chiếu vuông góc:**
- Gọi \( A_1, B_1, C_1 \) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \( A, B, C \) lên đường thẳng \( d \).
- Gọi \( I \) là hình chiếu vuông góc của \( O \) lên \( d \).

3. **Chứng minh I là trung điểm của A1C1:**
- Do \( O \) là trung điểm của \( AC \), nên \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} \).
- Khi chiếu vuông góc lên đường thẳng \( d \), ta có:
\[
\overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{OC_1}
\]
- Vì \( I \) là hình chiếu của \( O \) lên \( d \), nên \( I \) cũng là trung điểm của \( A_1C_1 \).

Vậy, \( I \) là trung điểm của \( A_1C_1 \).

### b) Chứng minh rằng: \( AA_1 + CC_1 = BB_1 \)

1. **Tính chất của hình chiếu vuông góc:**
- Gọi \( h_A, h_B, h_C \) lần lượt là khoảng cách từ \( A, B, C \) đến đường thẳng \( d \).
- Khi đó, \( AA_1 = h_A \), \( BB_1 = h_B \), và \( CC_1 = h_C \).

2. **Tính chất của hình bình hành:**
- Trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau.
- Do đó, khoảng cách từ \( A \) và \( C \) đến \( d \) là bằng nhau, tức là \( h_A = h_C \).

3. **Chứng minh:**
- Từ tính chất trên, ta có:
\[
AA_1 = h_A \quad \text{và} \quad CC_1 = h_C
\]
- Vì \( h_A = h_C \), nên:
\[
AA_1 + CC_1 = h_A + h_C = 2h_A
\]
- Trong khi đó, \( BB_1 = h_B \).
- Do \( B \) nằm trên đường chéo của hình bình hành và hình chiếu của \( B \) lên \( d \) cũng là trung điểm của \( AA_1 \) và \( CC_1 \), nên:
\[
BB_1 = 2h_A
\]

Vậy, \( AA_1 + CC_1 = BB_1 \).

Hy vọng rằng các bước giải trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, bạn có thể hỏi thêm.