Để tính tổng của dãy số này, ta cần xác định quy luật của dãy và tính tổng các phân số theo quy luật đó.

Dãy số được cho là:
\[ \frac{3}{5 \cdot 9} + \frac{3}{9 \cdot 15} + \frac{3}{13 \cdot 17} + \ldots + \frac{3}{401 \cdot 408} \]

Ta có thể thấy rằng mẫu số của mỗi phân số là tích của hai số liên tiếp cách nhau 4 đơn vị. Tổng quát, phân số thứ \( n \) có dạng:
\[ \frac{3}{(4n+1)(4n+5)} \]

Ta có thể viết lại mỗi phân số theo dạng phân tích thành các phân số đơn giản hơn:
\[ \frac{3}{(4n+1)(4n+5)} = \frac{A}{4n+1} + \frac{B}{4n+5} \]

Giải hệ phương trình để tìm \( A \) và \( B \):
\[ 3 = A(4n+5) + B(4n+1) \]

Giải hệ phương trình này ta được:
\[ A = \frac{3}{4}, B = -\frac{3}{4} \]

Vậy:
\[ \frac{3}{(4n+1)(4n+5)} = \frac{3/4}{4n+1} - \frac{3/4}{4n+5} \]

Tổng của dãy số sẽ là tổng của các phân số dạng này:
\[ \sum_{n=0}^{100} \left( \frac{3/4}{4n+1} - \frac{3/4}{4n+5} \right) \]

Đây là một dãy số dạng telescoping series, các số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:
\[ \frac{3/4}{1} - \frac{3/4}{405} \]

Vậy tổng của dãy số là:
\[ \frac{3}{4} \left( 1 - \frac{1}{405} \right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{404}{405} = \frac{3 \cdot 404}{4 \cdot 405} = \frac{1212}{1620} = \frac{101}{135} \]

Vậy tổng của dãy số là \( \frac{101}{135} \).