Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

a) Chứng minh rằng ΔOAB là tam giác đều.

- Gọi trung điểm của đoạn OA là M. Vì M là trung điểm của OA nên OM = MA.
- Đường thẳng d vuông góc với OA tại M cắt đường tròn (O) tại B và C.
- Vì B và C nằm trên đường tròn (O) nên OB = OC = R = 3 cm.
- Xét tam giác OAB:
+ OB = OC = R = 3 cm.
+ OM = MA = R/2 = 3/2 cm.
+ Đường thẳng d vuông góc với OA tại M nên tam giác OMA là tam giác vuông tại M.
+ Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác OMA:
\( OA^2 = OM^2 + MA^2 \)
\( 3^2 = (3/2)^2 + (3/2)^2 \)
\( 9 = 9/4 + 9/4 \)
\( 9 = 18/4 \)
\( 9 = 9/2 \)
+ Do đó, OA = OB = OC = 3 cm.
+ Tam giác OAB có 3 cạnh bằng nhau nên ΔOAB là tam giác đều.

b) Tính độ dài đoạn BC.

- Vì ΔOAB là tam giác đều nên góc AOB = 60 độ.
- Đường thẳng d vuông góc với OA tại M cắt đường tròn (O) tại B và C, nên B và C đối xứng nhau qua OA.
- Góc BOC = 120 độ (do góc AOB = 60 độ và góc BOC là góc ngoài của tam giác đều OAB).
- Sử dụng định lý cosin trong tam giác OBC:
\( BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot cos(120^\circ) \)
\( BC^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (-1/2) \)
\( BC^2 = 9 + 9 + 9 \)
\( BC^2 = 27 \)
\( BC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \) cm.

Vậy độ dài đoạn BC là \( 3\sqrt{3} \) cm.