Để chứng minh \(AI \perp BH\), ta làm theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
- \(D\) là trung điểm của \(BC\).
- \(H\) là hình chiếu của \(D\) trên \(BC\), do đó \(H\) trùng với \(D\) vì \(D\) nằm trên \(BC\).
- \(I\) là trung điểm của \(DH\).

2. **Chứng minh \(AI \perp BH\):**
- Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BD = DC\).
- \(H\) trùng với \(D\), do đó \(DH = 0\).
- \(I\) là trung điểm của \(DH\), nên \(I\) trùng với \(D\).

Vậy \(I\) trùng với \(D\).

3. **Xét tam giác \(ABD\):**
- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), nên \(AB = AC\).
- \(D\) là trung điểm của \(BC\), nên \(AD\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \(ABC\).

Do đó, \(AD \perp BC\).

4. **Kết luận:**
- Vì \(I\) trùng với \(D\), nên \(AI\) chính là \(AD\).
- \(AD \perp BC\), mà \(BC\) chứa \(H\), nên \(AD \perp BH\).

Vậy \(AI \perp BH\).