Để giải bài toán này, ta cần xác định năng suất làm việc của mỗi đội. Gọi \( A \) là số ngày đội một làm một mình để hoàn thành công việc và \( B \) là số ngày đội hai làm một mình để hoàn thành công việc.

1. **Tính năng suất làm việc của hai đội khi làm chung:**
- Nếu hai đội cùng làm chung thì sau 4 ngày sẽ hoàn thành công việc.
- Năng suất làm việc của hai đội khi làm chung là \( \frac{1}{4} \) công việc mỗi ngày.

2. **Tính năng suất làm việc của từng đội:**
- Gọi năng suất làm việc của đội một là \( \frac{1}{A} \) công việc mỗi ngày.
- Gọi năng suất làm việc của đội hai là \( \frac{1}{B} \) công việc mỗi ngày.
- Khi hai đội làm chung, năng suất làm việc là \( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{4} \).

3. **Sử dụng thông tin về thời gian làm việc của từng đội:**
- Đội một làm một mình trong 9 ngày, sau đó hai đội làm chung trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc.
- Công việc hoàn thành sau 9 ngày của đội một và 1 ngày làm chung của hai đội:
\[
9 \cdot \frac{1}{A} + 1 \cdot \left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} \right) = 1
\]
- Thay \( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{4} \) vào phương trình trên:
\[
9 \cdot \frac{1}{A} + \frac{1}{4} = 1
\]
- Giải phương trình này để tìm \( \frac{1}{A} \):
\[
9 \cdot \frac{1}{A} = 1 - \frac{1}{4}
\]
\[
9 \cdot \frac{1}{A} = \frac{3}{4}
\]
\[
\frac{1}{A} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}
\]
\[
A = 12
\]

4. **Tìm \( B \):**
- Sử dụng \( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{4} \):
\[
\frac{1}{12} + \frac{1}{B} = \frac{1}{4}
\]
\[
\frac{1}{B} = \frac{1}{4} - \frac{1}{12}
\]
\[
\frac{1}{B} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12}
\]
\[
\frac{1}{B} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
\]
\[
B = 6
\]

Vậy, đội một làm một mình thì sau 12 ngày sẽ xong công việc, và đội hai làm một mình thì sau 6 ngày sẽ xong công việc.