Để rút gọn biểu thức \( M \), ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức ban đầu:
\[ M = \left( \frac{x}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 6\sqrt{x} + 9} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 4} \]

Trước tiên, ta sẽ rút gọn từng phần tử trong biểu thức.

1. Xét phân số thứ nhất:
\[ \frac{x}{x - 3\sqrt{x}} \]

Ta có thể viết lại mẫu số:
\[ x - 3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) \]

Do đó:
\[ \frac{x}{x - 3\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \]

2. Xét phân số thứ hai:
\[ \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 6\sqrt{x} + 9} \]

Ta có thể viết lại mẫu số:
\[ x - 6\sqrt{x} + 9 = (\sqrt{x} - 3)^2 \]

Do đó:
\[ \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 6\sqrt{x} + 9} = \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)^2} = \frac{2}{\sqrt{x} - 3} \]

3. Kết hợp hai phân số đã rút gọn:
\[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{2}{\sqrt{x} - 3} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} \]

4. Xét phân số cuối cùng:
\[ \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 4} \]

Do đó, biểu thức \( M \) trở thành:
\[ M = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 4} \]

Rút gọn:
\[ M = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \]

Vậy biểu thức rút gọn của \( M \) là:
\[ M = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \]

Với điều kiện \( x > 0 \), \( x \neq 4 \), \( x \neq 9 \).