Để giải bài toán này, ta cần sử dụng nguyên lý đếm và lý thuyết tập hợp.

Gọi:
- \( H \) là tập hợp các thí sinh đăng ký hát.
- \( N \) là tập hợp các thí sinh đăng ký nhảy.
- \( A \) là tập hợp các thí sinh đăng ký ảo thuật.

Theo đề bài, ta có:
- \( |H| = 25 \)
- \( |N| = 20 \)
- \( |A| = 15 \)
- Số thí sinh đăng ký cả 3 hạng mục là \( |H \cap N \cap A| = 5 \)
- Số thí sinh xin hủy đơn đăng ký là 7.

Tổng số thí sinh ban đầu là 45, sau khi trừ đi 7 thí sinh hủy đơn đăng ký, còn lại 38 thí sinh.

Ta cần tìm số thí sinh chỉ đăng ký một trong ba hạng mục. Để làm điều này, ta cần tính số thí sinh đăng ký ít nhất một hạng mục và sau đó trừ đi số thí sinh đăng ký nhiều hơn một hạng mục.

Sử dụng công thức của nguyên lý đếm cho ba tập hợp:
\[ |H \cup N \cup A| = |H| + |N| + |A| - |H \cap N| - |N \cap A| - |A \cap H| + |H \cap N \cap A| \]

Ta biết rằng:
\[ |H \cup N \cup A| = 38 \]

Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\[ 38 = 25 + 20 + 15 - |H \cap N| - |N \cap A| - |A \cap H| + 5 \]

Giải phương trình trên:
\[ 38 = 65 - (|H \cap N| + |N \cap A| + |A \cap H|) + 5 \]
\[ 38 = 70 - (|H \cap N| + |N \cap A| + |A \cap H|) \]
\[ |H \cap N| + |N \cap A| + |A \cap H| = 32 \]

Bây giờ, ta cần tính số thí sinh chỉ đăng ký một hạng mục. Số thí sinh chỉ đăng ký hát là:
\[ |H| - |H \cap N| - |H \cap A| + |H \cap N \cap A| \]

Số thí sinh chỉ đăng ký nhảy là:
\[ |N| - |N \cap H| - |N \cap A| + |H \cap N \cap A| \]

Số thí sinh chỉ đăng ký ảo thuật là:
\[ |A| - |A \cap H| - |A \cap N| + |H \cap N \cap A| \]

Tổng số thí sinh chỉ đăng ký một hạng mục là:
\[ (|H| - |H \cap N| - |H \cap A| + |H \cap N \cap A|) + (|N| - |N \cap H| - |N \cap A| + |H \cap N \cap A|) + (|A| - |A \cap H| - |A \cap N| + |H \cap N \cap A|) \]

Thay các giá trị vào:
\[ (25 - |H \cap N| - |H \cap A| + 5) + (20 - |N \cap H| - |N \cap A| + 5) + (15 - |A \cap H| - |A \cap N| + 5) \]

Tổng số thí sinh chỉ đăng ký một hạng mục là:
\[ (25 - |H \cap N| - |H \cap A| + 5) + (20 - |N \cap H| - |N \cap A| + 5) + (15 - |A \cap H| - |A \cap N| + 5) \]

Tổng số thí sinh chỉ đăng ký một hạng mục là:
\[ 25 + 20 + 15 - 2(|H \cap N| + |N \cap A| + |A \cap H|) + 3 \times 5 \]

Thay giá trị \( |H \cap N| + |N \cap A| + |A \cap H| = 32 \):
\[ 25 + 20 + 15 - 2 \times 32 + 15 \]
\[ 60 - 64 + 15 \]
\[ 11 \]

Vậy số thí sinh chỉ biểu diễn một trong ba hạng mục là 11.