Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x + y - \sqrt{xy} = 3 \\
\sqrt{x + 1} - \sqrt{y - 1} = 4
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó kết hợp các kết quả.

**Bước 1: Giải phương trình thứ hai**

\[
\sqrt{x + 1} - \sqrt{y - 1} = 4
\]

Đặt \( \sqrt{x + 1} = a \) và \( \sqrt{y - 1} = b \). Khi đó, phương trình trở thành:

\[
a - b = 4
\]

Vì \( a = \sqrt{x + 1} \) và \( b = \sqrt{y - 1} \), ta có:

\[
a^2 = x + 1 \quad \text{và} \quad b^2 = y - 1
\]

Thay \( b = a - 4 \) vào phương trình \( b^2 = y - 1 \):

\[
(a - 4)^2 = y - 1
\]

Mở rộng phương trình:

\[
a^2 - 8a + 16 = y - 1
\]

Do đó:

\[
y = a^2 - 8a + 17
\]

**Bước 2: Giải phương trình thứ nhất**

\[
x + y - \sqrt{xy} = 3
\]

Thay \( y \) từ phương trình trên vào:

\[
x + (a^2 - 8a + 17) - \sqrt{xy} = 3
\]

Chúng ta cần biểu diễn \( \sqrt{xy} \) theo \( a \). Từ \( x = a^2 - 1 \):

\[
\sqrt{xy} = \sqrt{(a^2 - 1)(a^2 - 8a + 17)}
\]

Thay vào phương trình:

\[
(a^2 - 1) + (a^2 - 8a + 17) - \sqrt{(a^2 - 1)(a^2 - 8a + 17)} = 3
\]

Đơn giản hóa:

\[
2a^2 - 8a + 16 - \sqrt{(a^2 - 1)(a^2 - 8a + 17)} = 3
\]

\[
2a^2 - 8a + 13 = \sqrt{(a^2 - 1)(a^2 - 8a + 17)}
\]

**Bước 3: Tìm giá trị của \( a \)**

Giả sử \( a = 5 \):

\[
\sqrt{x + 1} = 5 \implies x + 1 = 25 \implies x = 24
\]

\[
\sqrt{y - 1} = 1 \implies y - 1 = 1 \implies y = 2
\]

Kiểm tra lại trong phương trình thứ nhất:

\[
24 + 2 - \sqrt{24 \cdot 2} = 3
\]

\[
26 - \sqrt{48} = 3
\]

\[
26 - 4\sqrt{3} \neq 3
\]

Vậy \( a = 5 \) không thỏa mãn. Thử \( a = 6 \):

\[
\sqrt{x + 1} = 6 \implies x + 1 = 36 \implies x = 35
\]

\[
\sqrt{y - 1} = 2 \implies y - 1 = 4 \implies y = 5
\]

Kiểm tra lại trong phương trình thứ nhất:

\[
35 + 5 - \sqrt{35 \cdot 5} = 3
\]

\[
40 - \sqrt{175} = 3
\]

\[
40 - 5\sqrt{7} \neq 3
\]

Vậy \( a = 6 \) cũng không thỏa mãn. Tiếp tục thử các giá trị khác của \( a \) hoặc sử dụng phương pháp khác để giải hệ phương trình này.

Tuy nhiên, từ các bước trên, ta thấy rằng việc giải hệ phương trình này có thể phức tạp và cần thêm các phương pháp khác như thử nghiệm hoặc sử dụng công cụ tính toán để tìm ra nghiệm chính xác.