Cho tứ giác ABCD có góc DAC vuông và góc DBC vuông. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh AB

Để chứng minh các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và chứng minh AB < CD, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Ta có:
- \(\angle DAC = 90^\circ\)
- \(\angle DBC = 90^\circ\)

Xét tứ giác \(ABCD\):

1. **Chứng minh \(\angle DAC + \angle DBC = 180^\circ\):**

\[
\angle DAC = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle DBC = 90^\circ
\]

\[
\angle DAC + \angle DBC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

2. **Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp:**

Một tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện bằng \(180^\circ\).

Vì \(\angle DAC + \angle DBC = 180^\circ\), nên tứ giác \(ABCD\) nội tiếp trong một đường tròn.

Vậy, 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh \(AB < CD\)

Để chứng minh \(AB < CD\), ta cần sử dụng một số tính chất hình học của tứ giác nội tiếp và các góc vuông.

1. **Xét tam giác vuông \( \triangle DAC \):**

Vì \(\angle DAC = 90^\circ\), nên \(AC\) là cạnh huyền của tam giác vuông \( \triangle DAC \).

Theo định lý Pythagore:

\[
AC^2 = AD^2 + DC^2
\]

2. **Xét tam giác vuông \( \triangle DBC \):**

Vì \(\angle DBC = 90^\circ\), nên \(BC\) là cạnh huyền của tam giác vuông \( \triangle DBC \).

Theo định lý Pythagore:

\[
BC^2 = BD^2 + DC^2
\]

3. **So sánh độ dài \(AB\) và \(CD\):**

Vì \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng thuộc một đường tròn và \(\angle DAC = 90^\circ\) và \(\angle DBC = 90^\circ\), nên \(AC\) và \(BC\) là các đường kính của đường tròn.

Do đó, \(AC\) và \(BC\) là các cạnh huyền của các tam giác vuông \( \triangle DAC \) và \( \triangle DBC \).

Ta có:

\[
AB < AC \quad \text{và} \quad AB < BC
\]

Vì \(AC\) và \(BC\) là các đường kính của đường tròn, nên:

\[
AC = BC
\]

Do đó, \(AB\) là cạnh nhỏ hơn so với \(AC\) và \(BC\).

Vì \(CD\) là một cạnh của tam giác vuông \( \triangle DBC \), nên:

\[
CD < BC
\]

Từ đó, ta có:

\[
AB < CD
\]

Vậy, ta đã chứng minh được \(AB < CD\).